Геометричний броунівський рух

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Геометричний броунівський рух (GBM)випадковий процес з неперервним часом, логарифм якого являє собою броунівський рух(вінерівський процес). GBM застосовується з метою моделювання ціноутворення на фінансових ринках і використовується переважно в моделях ціноутворення опціонів, оскільки GBM може приймати будь-які додатні значення. GBM є розумним наближенням до реальної динаміки цін акцій, не враховує, однак, рідкісні події (викиди).

Випадковий процес St є GBM, якщо він задовольняє наступне стохастичне диференціальне рівняння:

 dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t

де  W_t є броунівський рух, а  \mu («параметр сноса») і  \sigma («параметр волатильності») постійні.

Для довільного початкового значення S0 дане СДР має розв'язки

 S_t = S_0\exp\left( \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2} \right)t + \sigma W_t\right),

що є логнормально розподілена випадкова величина з математичним очікуванням \mathbb{E}(S_t)= e^{\mu t}S_0 і дисперсією \operatorname{Var}(S_t)= e^{2\mu t}S_0^2 \left( e^{\sigma^2 t}-1\right).

Коректність рішення може бути встановлена з використанням леми Іто. Випадкова величина log(St/S0) розподілена нормально з маточікуванням  (\mu - \sigma^2/2)t і дисперсією  \sigma^2t , що означає, що прирости GBM нормальні, що дає можливість говорити про «геометричність» процесу.

Література[ред.ред. код]

  • Булинский А. В., Ширяев А. Н. Теория случайных процессов. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 408 с.