Гравітаційна задача N тіл
Гравітаці́йна зада́ча N тіл є класичною проблемою небесної механіки і гравітаційної динаміки Ньютона.
У порожнечі містяться N матеріальних точок, маси яких відомі {mi}. Нехай попарна взаємодія точок підкоряється закону тяжіння Ньютона, і нехай сили гравітації адитивні. Нехай відомі початкові на момент часу t=0 положення і швидкості кожної точки ri|t =0 = ri 0, vi|t =0 = vi0. Потрібно знайти положення точок для всіх наступних моментів часу.
Еволюція системи N гравітувальних тіл (матеріальних точок) описується такою системою рівнянь:
де — маса, радіус-вектор і швидкість i-го тіла відповідно (i змінюється від 1 до N), G — гравітаційна стала. Маси тіл, а також положення і швидкості в початковий момент часу вважаються відомими. Необхідно знайти положення і швидкості всіх частинок у довільний момент часу.
Випадок відокремленої точки не є предметом розгляду гравітаційної динаміки. Поведінку такої точки описує перший закон Ньютона. Гравітаційна взаємодія — це принаймні парний акт.
Розв'язком задачі двох тіл є барицентрична орбіта (не плутати з центральною орбітою Кеплера). Відповідно до постановки, розв'язання задачі двох тіл нечутливе до нумерації точок і співвідношення їхніх мас. Орбіта Кеплера виникає граничним переходом . При цьому втрачається рівноправність точок: приймається абсолютно нерухомим центром тяжіння, а перша точка «втрачає» масу, — параметр випадає з динамічних рівнянь. Система рівнянь вироджується, оскільки кількість рівнянь і параметрів зменшується вдвічі. Тому зворотна асимптотика стає неможливою: із законів Кеплера не випливає закон тяжіння Ньютона (у законах Кеплера маси взагалі не згадуються).
Для задачі трьох тіл 1912 року Карл Зундман отримав загальний аналітичний розв'язок у вигляді рядів. Хоча ці ряди й збігаються для будь-якого моменту часу і за будь-яких початкових умов, але збігаються вони вкрай повільно[1]. Через таку повільну збіжність практичне використання рядів Зундмана неможливе[2].
Для задачі трьох тіл Генріх Брунс[ru] і Анрі Пуанкаре показали, що її загальний розв'язок не можна виразити через алгебричні або через однозначні трансцендентні функції координат і швидкостей[2]. Відомо лише 5 точних розв'язків задачі трьох тіл для особливих початкових швидкостей та координат об'єктів.
На даний момент у загальному вигляді задачу тіл для можна розв'язати тільки чисельно.
Із появою комп'ютерної техніки з'явилася реальна можливість вивчати властивості систем гравітувальних тіл, чисельно розв'язуючи системи рівнянь руху. Для цього застосовують, наприклад, метод Рунге — Кутти (четвертого або вищого порядку).
Чисельні методи зіштовхуються з тими ж проблемами, що й аналітичні. Для «прямого» інтегрування кількість обчислень сили для кожного кроку зростає з ростом кількості тіл приблизно як , що робить практично неможливим моделювання систем, що складаються з десятків чи сотень тисяч тіл. Крім того, за тісних зближень тіл необхідно зменшувати крок інтегрування, але тоді швидко накопичуються похибки.
Для вирішення цієї проблеми застосовують такі алгоритми (або їх комбінації):
- Схема Ахмада — Коена — пропонує розділити силу, що діє на кожне тіло, на 2 частини — регулярну (від віддалених тіл) й іррегулярну (від близьких тіл — «сусідів»). Відповідно, регулярну силу можна обчислювати зі значно більшим кроком, ніж іррегулярну.
- Алгоритм Барнса — Хата («деревний алгоритм», англ. Treecode) — реалізований Джошуа Барнесом[3].
Попри позірну простоту формул, розв'язку у вигляді скінчених аналітичних виразів для цієї задачі в загальному вигляді не існує. Як показав Генріх Брунс, задача багатьох тіл має тільки 10 незалежних алгебричних інтегралів руху, знайдених у XVIII столітті, яких недостатньо для інтегрування задачі трьох і більше тіл[4][5]. Свої узагальнення цієї теореми запропонували Пенлеве і Пуанкаре. Пенлеве вдалося відмовитися від вимоги алгебричності залежності від координат, Пуанкаре ж висловив гіпотезу про те, що не існує нового однозначного інтеграла (всі класичні інтеграли, крім інтеграла енергії, є однозначними функціями). Це останнє твердження досі не доведено в настільки загальному формулюванні.
У 1971 році В. М. Алєксєєв[ru] так прокоментував відповідний пасаж «Небесної механіки» Пуанкаре[6]:
Неіснування однозначного аналітичного інтеграла в задачі трьох тіл досі не доведено з повною строгістю... Перше акуратне доведення неінтегровності гамільтонової системи досить загального вигляду належить Зігелю[7]. Цікаво відзначити, що неаналітичні інтеграли в розглянутих задачах можливі; їх існування випливає з однієї теореми Колмогорова[8][9]. Навпаки, у разі, коли кількість змінних більша двох, найімовірніше, неможливий навіть неперервний інтеграл[10].
- ↑ К. Л. Зигель. Лекции по небесной механике. [Архівовано 2 лютого 2021 у Wayback Machine.] — М.: ИЛ, 1959.
- ↑ а б А. П. Маркеев. Задача трёх тел и её точные решения // Соросовский образовательный журнал[ru]. — 1999. — № 9 (13 грудня). Архівовано з джерела 2 лютого 2021. Процитовано 25 січня 2021. (копія статті в Архіві інтернету)
- ↑ Treecode — Software Distribution. Архів оригіналу за 2 лютого 2021. Процитовано 25 січня 2021.
- ↑ Bruns H. Ueber die Integrale der Vielkoerper-Problems // Acta math. Bd. 11 (1887), p. 25—96.
- ↑ Уитекер. Аналитическая динамика.
- ↑ В. В. Козлов. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. — Ижевск, 1995.
- ↑ Математика. — 1961. — № 5, вып. 2. — С. 129—155.
- ↑ Колмогоров А. Н. // ДАН, 1954, 48, № 4, 527—530
- ↑ Арнольд В. И. // УМН, 1963, 18 , № 5—6
- ↑ Арнольд В. И. // ДАН, 1964, 154, № 1, 9—12.
- James Binney, Scott Tremaine. Galactic Dynamics, 1988, ISBN 0-69-108445-9.