Гравітаційна задача N тіл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Гравітаці́йна зада́ча N тіл є класичною проблемою небесної механіки і гравітаційної динаміки Ньютона.

Формулювання[ред. | ред. код]

У порожнечі містяться N матеріальних точок, маси яких відомі {mi}. Нехай попарна взаємодія точок підкоряється закону тяжіння Ньютона, і нехай сили гравітації адитивні. Нехай відомі початкові на момент часу t=0 положення і швидкості кожної точки ri|t =0 = ri 0, vi|t =0 = vi0. Потрібно знайти положення точок для всіх наступних моментів часу.

Математичне формулювання гравітаційної задачі N тіл[ред. | ред. код]

Еволюція системи N гравітувальних тіл (матеріальних точок) описується такою системою рівнянь:

де — маса, радіус-вектор і швидкість i-го тіла відповідно (i змінюється від 1 до N), Gгравітаційна стала. Маси тіл, а також положення і швидкості в початковий момент часу вважаються відомими. Необхідно знайти положення і швидкості всіх частинок у довільний момент часу.

Аналітичний розв'язок[ред. | ред. код]

Траєкторії двох тіл різної маси, що перебувають у гравітаційній взаємодії
Приблизні траєкторії трьох однакових тіл, які перебували у вершинах нерівнобедреного трикутника і мали нульові початкові швидкості

Випадок відокремленої точки не є предметом розгляду гравітаційної динаміки. Поведінку такої точки описує перший закон Ньютона. Гравітаційна взаємодія — це принаймні парний акт.

Розв'язком задачі двох тіл є барицентрична системна орбіта (не плутати з польовою центральною орбітою Кеплера). У повній відповідності з початковою постановкою задачі, розв'язання задачі двох тіл абсолютно нечутливе до нумерації точок і співвідношення їхніх мас. Польова центральна орбіта Кеплера виникає граничним переходом . При цьому втрачається рівноправність точок: приймається абсолютно нерухомим центром тяжіння, а перша точка «втрачає» масу, — параметр випадає з динамічних рівнянь. У математичному сенсі система, що виникла, дегенеративна, оскільки число рівнянь і параметрів зменшується в два рази. Тому зворотна асимптотика стає неможливою: із законів Кеплера не випливає закон тяжіння Ньютона. (Слід урахувати, що в законах Кеплера маси взагалі не згадуються.)

Для задачі трьох тіл 1912 року Карл Зундман отримав загальний аналітичний розв'язок у вигляді рядів. Хоча ці ряди й збігаються для будь-якого моменту часу і за будь-яких початкових умов, але збігаються вони вкрай повільно[1]. Через вкрай повільну збіжність практичне використання рядів Зундмана неможливе[2].

Також для задачі трьох тіл Генріх Брунс[ru] і Анрі Пуанкаре показали, що її загальний розв'язок не можна виразити через алгебричні або через однозначні трансцендентні функції координат і швидкостей[2]. Крім того, відомо тільки 5 точних розв'язків задачі трьох тіл для особливих початкових швидкостей та координат об'єктів.

На даний момент у загальному вигляді задачу тіл для можна розв'язати тільки чисельно, причому для ряди Зундмана навіть за сучасного рівня комп'ютерів використовувати практично неможливо.

Чисельні методи[ред. | ред. код]

З появою комп'ютерної техніки з'явилася реальна можливість вивчати властивості систем гравітувальних тіл, чисельно розв'язуючи системи рівнянь руху. Для цього використовують, наприклад, метод Рунге — Кутти (четвертого або вищого порядку).

Чисельні методи стикаються з тими ж проблемами, що й аналітичні — за тісних зближень тіл необхідно зменшувати крок інтегрування, а при цьому швидко зростають чисельні помилки. Крім того, за «прямого» інтегрування кількість обчислень сили для кожного кроку зростає з ростом числа тіл приблизно як , що робить практично неможливим моделювання систем, що складаються з десятків і сотень тисяч тіл.

Для вирішення цієї проблеми застосовують такі алгоритми (або їх комбінації):

  • Схема Ахмада — Коена — пропонує розділити силу, що діє на кожне тіло, на 2 частини — іррегулярну (від близьких тіл — «сусідів») і регулярну (від віддалених тіл). Відповідно, регулярну силу можна переобчислювати зі значно більшим кроком, ніж іррегулярну.
  • «Деревний алгоритм» (Treecode), вперше реалізований Джошуа Барнесом[3].

Інтеграли руху[ред. | ред. код]

Попри позірну простоту формул, розв'язку у вигляді кінцевих аналітичних виразів для даної задачі в загальному вигляді не існує. Як показав Генріх Брунс, задача багатьох тіл має тільки 10 незалежних алгебричних інтегралів руху, знайдених у XVIII столітті, яких недостатньо для інтегрування задачі трьох і більше тіл[4][5]. Свої узагальнення цієї теореми запропонували Пенлеве і Пуанкаре. Пенлеве вдалося відмовитися від вимоги алгебричності залежності від координат, Пуанкаре ж висловив гіпотезу про те, що не існує нового однозначного інтеграла (всі класичні інтеграли, крім інтеграла енергії, є однозначними функціями). Це останнє твердження досі не доведено в настільки загальному формулюванні.

У 1971 році В. М. Алєксєєв[ru] так прокоментував відповідний пасаж «Небесної механіки» Пуанкаре[6]:

Неіснування однозначного аналітичного інтеграла в задачі трьох тіл досі не доведено з повною строгістю... Перше акуратне доведення неінтегровності гамільтонової системи досить загального вигляду належить Зігелю[en][7]. Цікаво відзначити, що неаналітичні інтеграли в розглянутих задачах можливі; їх існування випливає з однієї теореми Колмогорова[8][9]. Навпаки, в разі, коли число змінних більше від двох, найімовірніше, неможливий навіть неперервний інтеграл[10].

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. К. Л. Зигель. Лекции по небесной механике. — М.: ИЛ, 1959.
  2. а б А. П. Маркеев. Задача трёх тел и её точные решения // Соросовский образовательный журнал. — 1999. — № 9 (28 березня). (копия статьи в Архиве Интернета)
  3. Treecode — Software Distribution
  4. Bruns H. Ueber die Integrale der Vielkoerper-Problems // Acta math. Bd. 11 (1887), p. 25—96.
  5. Уитекер. Аналитическая динамика.
  6. В. В. Козлов. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. — Ижевск, 1995.
  7. Математика. — 1961. — № 5, вып. 2. — С. 129—155.
  8. Колмогоров А. Н. // ДАН, 1954, 48, № 4, 527—530
  9. Арнольд В. И. // УМН, 1963, 18 , № 5—6
  10. Арнольд В. И. // ДАН, 1964, 154, № 1, 9—12.

Література[ред. | ред. код]

Посилання[ред. | ред. код]