Гравітаційні хвилі (гідродинаміка)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Гравітаційні хвилі на воді — різновид хвиль на поверхні рідини, при яких сила, яка повертає деформовану поверхню рідини до стану рівноваги, є просто сила тяжіння, пов'язана з перепадом висот і западини в гравітаційному полі.

Траєкторії умовних часток води при не дуже великий (порівнянної з довжиною хвилі) глибині являють собою еліпс, що ілюструється хитанням пляшки

Загальні властивості[ред. | ред. код]

Гравітаційні хвилі на воді — це нелінійні хвилі. Точний математичний аналіз можливий лише в лінеаризованому наближенні і відсутності турбулентності. Крім того, зазвичай мова йде про хвилі на поверхні ідеальної рідини. Результати точного рішення в цьому випадку описані нижче.

Гравітаційні хвилі на воді не поперечні і не поздовжні. При коливанні рідини описують деякі криві, що переміщуються як в напрямку руху, так і поперек нього. У лінеаризованому наближенні ці траєкторії мають вигляд кіл. Це призводить до того, що профіль хвиль не синусоїдальний, а має характерні загострені гребені.

Нелінійні ефекти виявляються, коли амплітуда хвилі стає порівнянної з її довжиною. Одним з характерних ефектів у цьому режимі є поява зламів на вершинах хвиль. Крім того, з'являється можливість перекидання хвилі. Ці ефекти поки не піддаються точному аналітичному розрахунку.

Закон дисперсії для слабких хвиль[ред. | ред. код]

Поведінка хвиль малої амплітуди можна з хорошою точністю описати лінеаризованими рівняннями руху рідини. Для справедливості цього наближення необхідно, щоб амплітуда хвилі була істотно менше довжини хвилі, так і глибини водойми.

Є дві граничні ситуації, для яких розв'язок задачі має найбільш простий вид — це гравітаційні хвилі на мілкій воді і на глибокій воді.

Гравітаційні хвилі на мілкій воді[ред. | ред. код]

Наближення хвиль на мілкій воді справедливо в тих випадках, коли довжина хвилі значно перевищує глибину водойми. Класичний приклад таких хвиль — це цунамі в океані: до тих пір, поки цунамі не вийшла на берег, вона являє собою хвилю амплітудою порядку декількох метрів і довжиною в десятки і сотні кілометрів, що, звичайно ж, істотно більше глибини океану.

Закон дисперсії і швидкості хвилі в цьому випадку має вигляд:

де H — глибина водойми (відстань від поверхні до дна),
g — напруженість гравітаційного поля (прискорення вільного падіння).
 — кутова частота коливання в хвилі,
k — хвильове число (величина, обернена довжині хвилі),
 — фазова і групова швидкості відповідно.

Такий закон дисперсії призводить до деяких явищ, які можна легко помітити на морському березі.

  • Навіть якщо хвиля у відкритому морі йшла під кутом до берега, то при виході на берег гребені хвилі мають тенденцію розвиватися паралельно березі. Це пов'язано з тим, що поблизу берега, коли глибина починає поступово зменшуватися, швидкість хвилі падає. Тому коса хвиля пригальмовує на підході до берега, розвертаючись при цьому.
  • За рахунок аналогічного механізму при підході до берега зменшується поздовжній розмір цунамі, при цьому висота хвилі зростає.

Гравітаційні хвилі на глибокій воді[ред. | ред. код]

Наближення хвилі на глибокій воді справедливо, коли глибина водойми значно перевищує довжину хвилі. В цьому випадку для простоти розглядають нескінченно глибока водойма. Це обґрунтовано, оскільки при коливаннях поверхні реально рухається не вся товща води, а лише приповерхневих шар глибиною порядку довжини хвилі.

Закон дисперсії і швидкості хвилі в цьому випадку має вигляд:

З виписаного закону випливає, що фазоваі групова швидкість гравітаційних хвиль в цьому випадку виявляється пропорційною довжині хвилі. Іншими словами, довгохвильові коливання будуть поширюватися по воді швидше короткохвильових, що призводить до ряду цікавих явищ:

  • Кинувши камінь у воду і дивлячись на кола, утворювані ним, можна помітити, що межа хвиль розширюється не рівномірно, а приблизно рівноприскорено. При цьому чим більше кордон, тим більше довгохвильовими коливаннями вона формується.
  • Красивим наслідком виписаного закону дисперсії є корабельні хвилі.

Гравітаційні хвилі в загальному випадку[ред. | ред. код]

Якщо довжина хвилі порівнянна з глибиною басейну H, то закон дисперсії в цьому випадку має вигляд:

Деякі проблеми теорії гравітаційних хвиль на воді[ред. | ред. код]

  • Досі не зрозумілий механізм формування і стійкості так званих хвиль-вбивць — неочікуваних хвиль екстремальної амплітуди.