Градієнт

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Операція градієнта перетворює пагорб (ліворуч), якщо дивитися на нього зверху, в поле векторів (праворуч). Видно, що вектори спрямовані «вгору», і чим крутіший нахил, тим вони довші.

Градіє́нт, Ґрадіє́нт — міра зростання або спадання в просторі якоїсь фізичної величини на одиницю довжини.

Для позначення градієнта використовується оператор Гамільтона  \nabla .

Математичне формулювання[ред.ред. код]

Градієнт, як завжди вважають, — векторна величина, яка визначає в кожній точці простору не лише швидкість зміни, а й напрямок найшвидшої зміни функції, що залежить від координат. Але при замінах координат, градієнт перетворюється інакше, ніж вектор, і тому його не можна розглядати як справжній вектор.

Для скалярного поля  U(x,y,z) \, градієнт визначається формулою

 \nabla U = \frac{\partial U}{\partial x} \mathbf{i} +  
\frac{\partial U}{\partial y} \mathbf{j} +
\frac{\partial U}{\partial z} \mathbf{k}

де  \mathbf{i} ,  \mathbf{j} ,  \mathbf{k} - орти системи відліку.

Це означення узагальнюється на простори будь-якої розмірності

 \nabla U = \sum_i \frac{\partial U}{\partial x_i} \mathbf{e}_i .

Приклади[ред.ред. код]

Градієнт скалярного поля[ред.ред. код]

Градієнт скалярного поля (рос. градиент скалярного поля, англ. gradient of scalar field, нім. Skalarfeld-Gradient m) – вектор, проекціями якого на координатні осі є частинні похідні функції, яка описує дане поле. Практичне тлумачення полягає в тому, що він визначає напрям, у якому задане скалярне поле змінюється найшвидше.

Градієнт тиску[ред.ред. код]

Градієнт тиску (рос. градиент давления; англ. pressure gradient; нім. Druckgradient m, Druckgefälle n) – втрата тиску на одиниці довжини шляху руху рідини (газу).

Градієнт метановості вугільних шахт[ред.ред. код]

Градієнт метановості вугільних шахт (рос. градиент метанообильности угольных шахт, англ. gradient of methane content of coal-mine, нім. Methanmengegradient m in den Grubenbauen) – приріст середньої відносної газовості вугільних шахт при зануренні гірничих робіт в зону метанових газів. Здебільшого вимірюється в м3/т при заглибленні на 1 або 100 м.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Г.М. Фихтенгольц (1969). Курс дифференциального и интегрального исчисления. т. III. Москва: Наука. 
  • Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т.Фоменко. (1986). Современная геометрия. Учебное пособие для физико-математических специальностей университетовстр,стр.30. Москва: Наука. 
  • Мала гірнича енциклопедія. В 3-х т. / За ред. В. С. Білецького. — Донецьк: Донбас, 2004. — ISBN 966-7804-14-3.