Границя доданків ряду

Границя доданків ряду — для ряду $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ можна побудувати послідовність $\{a_{k}\}$ із його доданків і пошукати її границю.

• Існування нульової границі цієї послідовності $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ є простою необхідною умовою збіжності ряду.
• Існування ненульової границі є ознакою (достатньою умовою) розбіжності ряду.

Доведення

Припустимо, що ряд збігається. За визначенням збіжності ряду послідовність $s_{k}=\sum _{i=1}^{k}a_{i}$, а отже, і послідовність $(s_{k+1})$ збігаються до деякої спільної скінченної границі $s$. Але $(a_{k+1})=\,(s_{k+1})-\,(s_{k})$ і з властивостей границі послідовності $(a_{k+1}){\xrightarrow {\,}}s-s=0$, тобто послідовність $(a_{k})$ збігається до нуля.

Зауваження

Дана ознака є тільки достатньою, але не необхідною умовою розбіжності, тобто з того, що $(a_{k})$ збігається до нуля не випливає збіжність ряду.

Так, гармонічний ряд $1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+...+{\frac {1}{n}}+...$ є розбіжним, хоча його доданки прямують до нуля.

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2026. — 2390 с.(укр.)
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 1992. — 496 с. — ISBN 5-11-003757-4.(укр.)
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2026. — 2538 с.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)