Границя (теорія категорій)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Границя в теорії категорій — поняття, що узагальнює властивості таких конструкцій, як добуток, розшарований добуток і проективна границя. Двоїстим до границі є поняття кограниці, що узагальнює властивості таких конструкцій, як диз'юнктне об'єднання, кодобуток, кодекартів квадрат і індуктивна границя.

Означення[ред. | ред. код]

Поняття границі і кограниці вводяться за допомогою діаграм. Діаграмою типу J в категорії C називається функтор:

F: JC.

Найбільший інтерес представляє випадок, коли J є малою або скінченною категорією. У цьому випадку діаграма J називається малою або скінченною.

Категорію J можна сприймати як індексну, об'єкти якої індексують об'єкти категорії C подібно до того, як для послідовностей натуральні числа індексують елементи деякої множини. У випадку категорій проте у індексній категорії також задані деякі морфізми між об'єктами, які функтор переводить у морфізми між індексованими об'єктами.

Нехай F — діаграма типу J в категорії C. Конусом у F називається об'єкт N в C разом з сім'єю морфізмів ψ X : NF(X), індексованих об'єктами X діаграми J, такий що для будь-якого морфізма f: XY в J також F(f) o ψX = ψY.

Границею діаграми F: JC називається конус (L, φ) в F такий, що для будь-якого конуса (N, ψ) у F існує єдиний морфізм u: NL, такий що φX o u = ψX для всіх X в J.

A universal cone

Аналогічним чином дається означення поняття кограниці — потрібно лише обернути всі стрілки у комутативній діаграмі. Більш детально:

Коконус діаграми F: JC — об'єкт N категорії C разом з сім'єю морфізмів:

ψ X: F(X) → N

для кожного X в J, такий, що для будь-якого морфізма f: XY в J виконується ψ YoF(f) = ψX.

Кограницею діаграми F: JC називається коконус (L, φ) такий , що для будь-якого іншого коконуса (N, ψ) існує єдиний морфізм u: LN, такий, що uX = ψ X для всіх X в J.

A universal co-cone

Як і будь-які універсальні об'єкти, границі і кограниці не завжди існують, але якщо існують, то визначені з точністю до ізоморфізму.

Приклади границь[ред. | ред. код]

У прикладах розглядається границя (L, φ) діаграми F: JC.

  • Термінальні об'єкти. Якщо J — порожня діаграма, в C існує тільки одна діаграма типу J — порожня. Конус в порожню діаграму не може складатися більш ніж з одного елемента. Границею F є об'єкт, в який існує єдиний морфізм з будь-якого об'єкта, тобто термінальний об'єкт.
  • Добутки. Тут J — дискретна категорія (без неодиничних морфізмів), діаграмою типу J є сім'я об'єктів C і границя — їх добуток разом з проекціями на множники.
  • Вирівнювач. Тут J — категорія з двох об'єктів і двох паралельних морфізмів, тоді діаграмою типу J є два паралельних морфізма у в C і границя їх вирівнювач.
    • Ядро — окремий випадок вирівнювача, де один з морфізмів є нульовим морфізмом.
  • Розшарований добуток. Тут J складається з трьох об'єктів і морфізмів з першого і другого об'єктів у третій.
  • Якщо J — категорія з одного елемента і тотожного морфізма, то границею є той об'єкт, в який відображається J.
  • Топологічні границі. Границі функцій — окремий випадок границь фільтрів, які є пов'язані з категорними границями. В заданому топологічному просторі X розглянемо F — множину фільтрів на X, точку xX, V(x) ∈ F — фільтр околів x, AF — деякий конкретний фільтр і — множину фільтрів, що є тоншими, ніж A і сходяться до x. На фільтрах F можна задати структуру категорії, сказавши, що стрілка AB існує тоді і тільки тоді, коли AB. Вкладення стає функтором і виконується твердження:
    x — топологічна границя A тоді і тільки тоді, коли A — категорна границя . [1]

Властивості[ред. | ред. код]

Існування[ред. | ред. код]

Категорія має границі типу J, якщо будь-яка діаграма типу J має границю.

Категорія називається повною, якщо вона має границю для будь-якої малої діаграми (тобто діаграми, елементи якої утворюють множину). Аналогічно визначаються скінченно повні і коповні категорії.

Наприклад категорія множин Set є повною. Границею діаграми J є множина:

Згідно теореми про існування границь, якщо у категорії C існують усі вирівнювачі і всі добутки проіндексовані Ob(J) і Hom(J), тоді у C існують усі границі типу J. Границя діаграми F : JC може бути записана як вирівнювання двох морфізмів

заданих у компонентній формі як

Справедливою також є двоїста теорема про існування кограниць у термінах ковирівнювачів і кограниць.

Універсальна властивість[ред. | ред. код]

Розглянемо категорію C з діаграмою J. Категорію функторів C J можна вважати категорією діаграм типу J в C. Діагональний функтор — функтор, що відображає елемент N категорії C в постійний функтор Δ(N): JC, що відображає все в N.

Для даної діаграми F: JC (що розглядається як об'єкт C J), натуральне перетворення ψ: Δ(N) → F (що розглядається як морфізм категорії CJ) — те ж саме, що конус з N в F. Компоненти ψ — морфізми ψ X: NF(X). Означення границь і кограниць можна переписати як:

  • границя F — універсальна стрілка з Δ в F.
  • кограниця F — універсальна стрілка з F в Δ.

Функтори і границі[ред. | ред. код]

Функтор G: CD індукує відображення з Cone(F) в Cone(GF).

G зберігає границі в F, якщо (GL, Gφ ) — границя GF, коли (L, φ) — границя F. Функтор G зберігає всі границі типу J, якщо він зберігає границі всіх діаграм F: JC. Наприклад, можна говорити, що G зберігає добутки, вирівнювачі і т. д.

Неперервний функтор — функтор, який зберігає всі малі границі. Аналогічні означення вводяться для кограниць.

Важливою властивістю спряжених функторів є те, що кожен правий спряжений функтор є неперервним і кожен лівий спряжений функтор є конеперервним.

Функтор G: CD піднімає границі для діаграми F: JC якщо з того, що (L, φ) — границя GF випливає, що існує границя (L ', φ') в F, така що G(L, φ) = (L, φ) [2]. Функтор G піднімає границі типу J, якщо він піднімає границі для всіх діаграм типу J. Існують двоїсті означення для кограниць.

Примітки[ред. | ред. код]

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

  • Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). Abstract and Concrete Categories (4.2MB PDF). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6.
  • Borceux, Francis (1994). Limits. Handbook of categorical algebra. Encyclopedia of mathematics and its applications 50-51, 53 [i.e. 52]. Volume 1. Cambridge University Press. ISBN 0-521-44178-1. 
  • Leinster, Tom (2014). Basic Category Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 143. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-04424-1.