Граф товаришування

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Граф товаришування
Friendship graph 8.svg
Вершин 2n+1
Ребер 3n
Радіус 1
Діаметр 2
Обхват 3
Хроматичне число 3
Хроматичний індекс 2n
Властивості граф одиничних відстаней
планарний
ейлерів
фактор-критичний
Графи товаришування F2, F3 і F4.

Граф товаришування (або граф данського млина, або n-лопатевий вентилятор) Fn — це планарний неорієнтований граф з 2n+1 вершинами і 3n ребрами[1].

Граф товаришування Fn можна побудувати, з'єднавши n копій циклів C3 в одній спільній вершині[2].

З побудови граф товаришування Fn ізоморфний вітряку Wd(3,n). Граф є графом одиничних відстаней, має обхват 3, діаметр 2 і радіус 1. Граф F2 ізоморфний метелику.

Теорема про граф товаришування[ред. | ред. код]

Теорема про граф товаришування Ердеша, Реньї і Шош[3][4] стверджує, що скінченні графи з властивістю, що будь-які дві вершини мають рівно одного спільного сусіда, це в точно графи товаришування. Неформально, якщо група людей має властивість, що будь-яка пара людей має рівно одного спільного друга, то має бути одна особа, яка є другом решти членів групи. Для нескінченних графів, однак, може існувати багато різних графів однакової потужності, що мають цю властивість[5].

Комбінаторне доведення теореми про граф товаришування дали Мертціос і Унгер[6]. Інше доведення дав Крейг Хунеке[7].

Розмітка і розфарбування[ред. | ред. код]

Граф товаришування має хроматичне число 3 і хроматичний Індекс 2n. Його хроматичний многочлен можна отримати з хроматичного многочлена циклу C3, він дорівнює .

Граф товаришування Fn має досконалу розмітку ребер тоді і тільки тоді, коли n непарне. Він має граціозну розмітку тоді і тільки тоді, коли n ≡ 0 (mod 4), або n ≡ 1 (mod 4)[8][9].

Будь-який граф товаришування є фактор-критичним.

Екстремальна теорія графів[ред. | ред. код]

Згідно з екстремальною теорією графів будь-який граф з досить великим числом ребер (відносно числа вершин) повинен містити, як підграф, k-лопатевий вітряк. Точніше, це істинне для графа з n вершинами, якщо число ребер дорівнює

де f(k) дорівнює k2 − k, якщо k непарне, і f(k) дорівнює k2 − 3k/2, якщо k парне. Ці межі узагальнюють теорему Турана про число ребер у графі без трикутників і вони є кращими межами для цієї задачі, оскільки для будь-якого меншого числа ребер існують графи, що не містять k-лопатевого вітряка[10].

Примітки[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

  • J. A. Gallian[en]. Dynamic Survey DS6: Graph Labeling // Electronic J. Combinatorics. — 2007. — Jan.. Архівовано з джерела 31 січня 2012.
  • J.C. Bermond, A. E. Brouwer[en], A. Germa. Systèmes de triplets et différences associées // Problèmes Combinatoires et Théorie des Graphes. — Paris, 1978. — Т. 260, Editions du Centre Nationale de la Recherche Scientifique. — (Colloq. Intern. du CNRS)
  • J. C. Bermond, A. Kotzig[en], J. Turgeon. On a combinatorial problem of antennas in radioastronomy, in Combinatorics // Colloq. Math. Soc. János Bolyai, / A. Hajnal, V. T. Sos, eds. — North-Holland, Amsterdam, 1978. — Т. 18, 2 vols.
  • Paul Erdős, Alfréd Rényi, Vera T. Sós. On a problem of graph theory // Studia Sci. Math. Hungar.. — 1966. — Т. 1 (22 вересня). — С. 215–235.
  • Václav Chvátal[ru], Anton Kotzig, Ivo G. Rosenberg, Roy O. Davies. There are friendship graphs of cardinal  // Canadian Mathematical Bulletin. — 1976. — Т. 19, вип. 4 (22 вересня). — С. 431–433. — DOI:10.4153/cmb-1976-064-1.
  • George Mertzios, Walter Unger. The friendship problem on graphs // Relations, Orders and Graphs: Interaction with Computer Science. — 2008. — 22 вересня.
  • Craig Huneke. The Friendship Theorem // The American Mathematical Monthly. — 2002. — Т. 109, вип. 2 (January). — С. 192–194. — DOI:10.2307/2695332.
  • Paul Erdős, Z. Füredi, R. J. Gould, D. S. Gunderson. Extremal graphs for intersecting triangles // Journal of Combinatorial Theory. — 1995. — Т. 64, вип. 1 (22 вересня). — С. 89–100. — (Series B). — DOI:10.1006/jctb.1995.1026.