Група Матьє

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Група (математика)
Теорія груп
Див. також: Портал:Фізика

Групи Матьє — це п'ять спорадичних простих груп, M11[en] , M12[en] , M22[en] , M23[en] і M24[en], які ввів Еміль Леонар Матьє[1][2]. Групи є кратно транзитивними групами перестановок 11, 12, 22, 23 чи 24 об'єктів. Перші відкриті спорадичні групи.

Іноді використовують позначення M9, M10, M20 і M21 для пов'язаних груп (які діють на множинах із 9, 10, 20 і 21 точками, відповідно), а саме стабілізаторів точок у великих групах. Хоча це не спорадичні прості групи, вони є підгрупами великих груп і можуть бути використані для їх побудови. Джон Конвей показав, що можна продовжити цю послідовність, отримуючи групоїд Матьє[en] M13, що діє на 13 точок. M21 — проста, але не спорадична група, оскільки є ізоморфною PSL(3,4).

Історія

[ред. | ред. код]

Матьє[3] ввів групу M12 як частину дослідження кратно транзитивних груп перестановок і коротко згадав (на стор. 274) групу M24, вказавши її порядок. У статті 1873 року[2] він навів додаткові деталі, включаючи явні породжувальні множини для цих груп, але групу нелегко побачити з його аргументів, що згенеровані групи не просто знакозмінні групи, і кілька років існування груп було під сумнівом. Міллер[4] навіть опублікував статтю з хибним доведенням, що M24 не існує, хоча незабаром після цього у статті 1900 року[5] він визнав, що доведення мало помилки, і дав доведення, що групи Матьє прості. Вітт[6][7] нарешті припинив сумніви про існування цих груп, побудувавши їх, як послідовні транзитивні розширення груп перестановок, а також як групи автоморфізмів систем Штейнера.

Після груп Матьє нових спорадичних груп не виявляли до 1965 року, коли було відкрито групу J1[en].

Кратно транзитивні групи

[ред. | ред. код]

Матьє цікавився пошуком кратно транзитивних груп перестановок. Для натурального числа k група перестановок G, яка діє на n точок, є k-транзитивною, якщо при заданні двох множин точок a1, … ak і b1, … bk зі властивістю, що всі ai різні і всі bi різні, існує елемент g групи G, який відображає ai в bі для всіх i від 1 до k. Така група називається гостро k-транзитивною, якщо елемент g єдиний (тобто дія на k-кортежі регулярна (строго транзитивна), а не просто транзитивна).

Група M24 5-транзитивна, а група M12 — гостро 5-транзитивна. Інші групи Матьє (прості та не прості), як підгрупи, що відповідають стабілізаторам m точок, мають нижчу транзитивність (M23 4-транзитивна, і т. д.).

4-транзитивними групами є тільки симетричні групи Sk для , знакозмінні групи Ak для , і групи Матьє M24[en], M23[en], M12[en] та M11[en][8].

Класичним результатом є результат Жордана, що тільки симетрична та знакозмінні групи (степенів k і k + 2 відповідно), а також M12 і M11 є гостро k-транзитивними групами перестановок для .

Важливими прикладами кратно транзитивних груп є 2-транзитивні групи[en] та групи Цассенгауса[en]. Останні, зокрема, включають проєктивну загальну лінійну групу проєктивної прямої над скінченним полем, PGL(2,Fq), яка є гостро 3-транзитивною (див. Подвійне відношення) на елементах.

Таблиця порядків та транзитивності

[ред. | ред. код]
Група Порядок Порядок (добуток) Розклад порядку Транзитивність Проста Спорадична
M24 244823040 3•16•20•21•22•23•24 210•33•5•7•11•23 5-транзитивна так спорадична
M23 10200960 3•16•20•21•22•23 27•32•5•7•11•23 4-транзитивна так спорадична
M22 443520 3•16•20•21•22 27•32•5•7•11 3-транзитивна так спорадична
M21 20160 3•16•20•21 26•32•5•7 2-транзитивна так PSL3(4)
M20 960 3•16•20 26•3•5 1-транзитивна ні
M12 95040 8•9•10•11•12 26•33•5•11 гостро 5-транзитивна так спорадична
M11 7920 8•9•10•11 24•32•5•11 гостро 4-транзитивна так спорадична
M10 720 8•9•10 24•32•5 гостро 3-транзитивна почти M10' ≈ Alt6
M9 72 8•9 23•32 гостро 2-транзитивна ні PSU3(2)[en]
M8 8 8 23 гостро 1-транзитивна (регулярна) ні Q

Побудова груп Матьє

[ред. | ред. код]

Групи Матьє можна побудувати різними способами.

Групи перестановок

[ред. | ред. код]

M12 має просту підгрупу порядку 660, максимальну підгрупу. Ця підгрупа ізоморфна проєктивній спеціальній лінійній групі PSL2(F11) над полем із 11 елементів. Якщо −1 позначити як a, а нескінченність як b, двома стандартними генераторами є перестановки (0123456789a) та (0b)(1a)(25)(37)(48)(69). Третій генератор, що дає M12, переводить елемент x групи F11 у , як за перестановки (26a7)(3945).

Ця група виявляється не ізоморфною жодному з членів нескінченних сімейств скінченних простих груп і називається спорадичною. M11 є стабілізатором точки M12 і теж виявляється спорадичною простою групою. M10, стабілізатор двох точок, не є спорадичною, але є майже простою групою, комутант якої — знакозмінна група A6. Вона пов'язана з винятковим зовнішнім автоморфізмом[en] групи A6. Стабілізатор 3 точок — проєктивна спеціальна унітарна група[en] PSU(3,22), яка є розв'язною. Стабілізатор 4 точок — група кватерніонів.

Подібно, M24 має максимальну просту підгрупу порядку 6072, ізоморфну PSL2(F23). Один генератор додає 1 кожному елементи поля (залишаючи точку N на нескінченності нерухомою), тобто перестановка (0123456789ABCDEFGHIJKLM)(N), а інший є перестановкою, що обертає порядок, (0N)(1M)(2B)(3F)(4H)(59)(6J)(7D)(8K)(AG)(CL)(EI). Третій генератор, що дає M24 переводить елемент x групи F23 в . Обчислення показують, що це перестановка (2G968)(3CDI4) (7HABM)(EJLKF).

Стабілізатори 1 і 2 точок, M23 і M22, також виявляються простими спорадичними групами. Стабілізатор 3 точок є простою групою та ізоморфний проєктивній спеціальній лінійній групі PSL3(4).

Ці побудови процитував Кармайкл[9]. Діксон і Мортімер[10] приписують перестановки Емілю Матьє.

Групи автоморфізмів систем Штейнера

[ред. | ред. код]

Існує з точністю до еквівалентності єдина S(5,8,24) система Штейнера W24 (схема Вітта). Група M24 є групою автоморфізмів цієї системи Штейнера, тобто множина перестановок, які відображають кожен блок у деякий інший блок. Підгрупи M23 та M22 визначаються як стабілізатори однієї точки та двох точок відповідно.

Подібним чином, існує з точністю до еквівалентності єдина S(5,6,12) система Штейнера W12 а група M12 є її групою автоморфізмів. Підгрупа M11 є стабілізатором точки.

W12 можна побудувати з афінної геометрії на векторному просторі F3×F3 системи S(2,3,9).

Альтернативна побудова W12 — «кошеня» Кертіса[11].

Вступ до побудови W24 за допомогою чудового генератора октад[en] Р. Т. Кертіса та аналога для W12 (miniMOG) Конвея можна знайти в книзі Конвея і Слоуна.

Групи автоморфізмів кодів Голея

[ред. | ред. код]

Група M24 є групою автоморфізмів перестановок[en] розширеного двійкового коду Голея W, тобто групи перестановок 24 координат, що відображають W в себе. Усі групи Матьє можна побудувати як групи перестановок двійкових кодів Голея.

M12 має у своїй групі автоморфізмів індекс 2, а M12:2 виявляється ізоморфною підгрупою групи M24. M12 є стабілізатором коду з 12 одиниць. M12:2 стабілізує розділення у двох комплементарних кодах з 12 біт.

Існує природний зв'язок між групами Матьє та більшими групами Конвея, оскільки ґратку Ліча побудовано на бінарному коді Голея і обидві групи, фактично, лежать у просторі розмірності 24. Групи Конвея виявлено в Монстрі. Роберт Ґріс[en] називає 20 спорадичних груп, знайдених у Монстрі, щаслива родина, а групи Матьє — перше покоління.

Dessins d'enfants

[ред. | ред. код]

Групи Матьє можна побудувати за допомогою dessins d'enfants[en]фр. — дитячий малюнок)[12], а малюнок, асоційований з M12, ле Брюн назвав «Monsieur Mathieu» (Месьє Матьє)[13].

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Mathieu, 1861.
  2. а б Mathieu, 1873.
  3. Mathieu, 1861, с. 271.
  4. Miller, 1898.
  5. Miller, 1900.
  6. Witt, 1938a.
  7. Witt, 1938b.
  8. Cameron, 1999, с. 110.
  9. Carmichael, 1956, с. 151, 164, 263.
  10. Dixon, Mortimer, 1996, с. 209.
  11. Curtis, 1984.
  12. Буквально — дитячий малюнок (фр.). Термін запропонував Гротендік для одного з видів вкладення графів.
  13. le Bruyn, 2007.

Література

[ред. | ред. код]
  • Горенстейн Д. Конечные простые группы. — 1985.
  • Peter J. Cameron. Permutation Groups. — Cambridge University Press, 1999. — Т. 45. — (London Mathematical Society Student Texts) — ISBN 978-0-521-65378-7.
  • Robert D. Carmichael. Introduction to the theory of groups of finite order. — New York : Dover Publications, 1956. — ISBN 978-0-486-60300-1. Оригинальний рік видання: 1937
  • C. Choi. On Subgroups of M24. I: Stabilizers of Subsets // Transactions of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1972a. — Т. 167 (May). — С. 1–27. — DOI:10.2307/1996123.
  • C. Choi. On Subgroups of M24. II: the Maximal Subgroups of M24 // Transactions of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1972b. — Т. 167 (May). — С. 29–47. — DOI:10.2307/1996124.
  • John Horton Conway. Three lectures on exceptional groups // Finite simple groups / M. B. Powell, Graham Higman. — Boston, MA : Academic Press, 1971. — С. 215–247. — (Proceedings of an Instructional Conference organized by the London Mathematical Society (a NATO Advanced Study Institute), Oxford, September 1969.) — ISBN 978-0-12-563850-0. Перепечатано в Conway, Sloane, 1999
  • John Horton Conway, Richard A. Parker, Simon P. Norton, R. T. Curtis, Robert A. Wilson. Atlas of finite groups. — Oxford University Press, 1985. — ISBN 978-0-19-853199-9.
  • John Horton Conway, Neil J. A. Sloane. Sphere Packings, Lattices and Groups. — 3rd. — Berlin, New York : Springer-Verlag, 1999. — Т. 290. — (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften) — ISBN 978-0-387-98585-5.
  • Curtis R. T. A new combinatorial approach to M₂₄ // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1976. — Т. 79, вип. 1. — С. 25–42. — ISSN 0305-0041. — DOI:10.1017/S0305004100052075.
  • Curtis R. T. (1977), The maximal subgroups of M₂₄, т. 81, № 2 (вид. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society), с. 185—192, doi:10.1017/S0305004100053251, ISSN 0305-0041, MR 0439926
  • Curtis R. T. The Steiner system S(5, 6, 12), the Mathieu group M₁₂ and the "kitten" // Computational group theory. Proceedings of the London Mathematical Society symposium held in Durham, July 30–August 9, 1982 / Michael D. Atkinson. — Boston, MA : Academic Press, 1984. — С. 353–358. — ISBN 978-0-12-066270-8.
  • Hans Cuypers. The Mathieu groups and their geometries. — 1998.
  • John D. Dixon, Brian Mortimer. Permutation groups. — Berlin, New York : Springer-Verlag, 1996. — Т. 163. — (Graduate Texts in Mathematics) — ISBN 978-0-387-94599-6. — DOI:10.1007/978-1-4612-0731-3.
  • Ferdinand Georg Frobenius. Über die Charaktere der mehrfach transitiven Gruppen. — Mouton De Gruyter, 1904. — С. 558–571. — (Berline Berichte) — ISBN 978-3-11-109790-9.
  • Robert L. Jr. Griess. Twelve sporadic groups. — Berlin, New York : Springer-Verlag, 1998. — (Springer Monographs in Mathematics) — ISBN 978-3-540-62778-4.
  • Émile Mathieu. Mémoire sur l'étude des fonctions de plusieurs quantités, sur la manière de les former et sur les substitutions qui les laissent invariables // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1861. — Т. 6. — С. 241–323.
  • Émile Mathieu. Sur la fonction cinq fois transitive de 24 quantités // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1873. — Т. 18. — С. 25–46.[недоступне посилання з червня 2018] Язык: Французский
  • Miller G. A. On the supposed five-fold transitive function of 24 elements and 19!/48 values. // Messenger of Mathematics. — 1898. — Т. 27. — С. 187–190.
  • Miller G. A. Sur plusieurs groupes simples // Bulletin de la Société Mathématique de France. — 1900. — Т. 28. — С. 266–267.
  • Mark Ronan. Symmetry and the Monster. — Oxford, 2006. — ISBN 978-0-19-280722-9. (an introduction for the lay reader, describing the Mathieu groups in a historical context)
  • Thomas M. Thompson. From error-correcting codes through sphere packings to simple groups. — Mathematical Association of America, 1983. — Т. 21. — (Carus Mathematical Monographs) — ISBN 978-0-88385-023-7.
  • Ernst Witt. über Steinersche Systeme // Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. — Springer Berlin / Heidelberg, 1938a. — Т. 12. — С. 265–275. — ISSN 0025-5858. — DOI:10.1007/BF02948948.
  • Ernst Witt. Die 5-fach transitiven Gruppen von Mathieu // Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. — 1938b. — Т. 12. — С. 256–264. — DOI:10.1007/BF02948947.
  • Lieven le Bruyn. Monsieur Mathieu. — 2007. Архівовано з джерела 1 травня 2010.

Посилання

[ред. | ред. код]