Група Пуанкаре

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Група Пуанкаре, Неоднорідна група Лоренца - група, що об'єднує групу Лоренца (однорідну) та групу трансляцій. Відповідно, для 4-простору-часу група - 10-параметрична:

.

Інваріантом групи є величина (трансляційно інваріантна, на відміну від інваріанта групи Лоренца)

.

Група названа на честь Анрі Пуанкаре.

Генератори та алгебра групи[ред.ред. код]

Перетворення можна записати у матричному вигляді фіктивного 5-вимірного простору-часу:

.

Якщо використати операторний формалізм, що пов'язує інфінітезимальні оператори з генераторами виразом , то при використанні генераторів 3-поворотів та лоренцевських бустів утворюється шість наступних операторів:

,

.

Далі, оператор інфінітезимального перетворення, що відповідає генератору трансляцій , має вигляд (множник введений для ермітовості оператора)

.

Із структури операторів видно, що вони утворюють компоненти антисиметричного 4-тензора

,

де враховано, що 4-радіус-вектор - контраваріантний, а 4-вектор похідної - коваріантний.

Тепер можна перейти до алгебри групи Пуанкаре. Генераторами алгебри є, таким чином, оператори . Отже, алгебра Пуанкаре - алгебра виду

.

Оператори Казиміра групи. Загальні властивості алгебри[ред.ред. код]

Тепер можна знайти оператори Казиміра. Один із них - тривіальний і є квадратом 4-імпульсу : дійсно,

,

.

Для знаходження іншого можна ввести оператор Паулі-Любанського:

.

громіздкі викладки дозволяють отримати

,

.

У загальному випадку, комутатор будь-якого трансляційно інваріантного 4-оператора та інфінітезимального оператору трансляцій рівен нулю. Нулю також рівен комутатор 4-згортки одноіндексних операторів та , а його комутатор із будь-яким 4-вектором завжди буде рівен , оскільки визначає операторне представлення генераторів матриці перетворень групи Лоренца (скалярний оператор жє інваріантним по відношенню до перетворення, а 4-оператор перетворюється у відповідності до структури генераторів).

Зв'язок із фізикою. Одночастинкові стани[ред.ред. код]

Орбітальний момент імпульсу та спін[ред.ред. код]

У рамках Спеціальній теорії відносності був отриманий тензор моменту імпульсу,

,

де

-

вектори моменту імпульсу та центру енергії відповідно. При використанні формалізму квантової механіки , і вирази двох тензорів збігаються з точністю до множника .

Можна зробити невеликий відступ щодо моменту імпульсу у квантовій механіці. Із викладок, наведених вище, очевидно, що оператор 3-вектора моменту імпульсу у квантовій механіці має компоненти, що відповідають операторному представленню генераторів тривимірних обертань. Це означає, що оператор моменту імпульсу має послідовність власних чисел виду . Проте в силу координатного (і звідного) представлення оператору моменту імпульсу власні значення можуть бути лише цілими.

Величина , що відповідає незвідному представленню генератора обертань і характеризує трансформаційні властивості поля по відношенню до групи Лоренца (див. розділ "Класифікація полів..." статті Група Лоренца), може набувати як цілих, так і напівцілих значень. Проте вона також відповідає моменту імпульсу. Отже, вона не пов'язана із обертанням, а є характеристикою об'єкта типу заряду і, водночас, визначає трансформаційні властивості об'єкта по відношенню до перетворень Лоренца та поворотів. Оператори спіну та орбітального моменту імпульсу мають однакову алгебру, оскільки є представленнями генератору 3-обертів.

Оператор Паулі-Любанського із введенням квантового спіну характеризує спін частинки: повний момент імпульсу можна представити як , де є оператором спіну, а - оператором орбітального моменту .

Власні числа операторів Казиміра групи та їх зв'язок із фізичним станом частинки[ред.ред. код]

Оператори Казиміра (точніше, їх власні числа) групи характеризують її незвідні представлення. Власні числа операторів Казиміра групи Пуанкаре характеризують масу та спін частинки. Дійсно, відповідно до фізичного змісту оператору 4-імпульсу та релятивістського зв'язку маси та енергії-імпульсу, при дії на довільну функцію-стан системи

,

де - квадрат маси частинки.

Далі, квадрат оператору Любанського-Паулі у системі, в якій просторовий імпульс частинки рівен нулю (для просторових компонент , і при діагональному вигляді операторів імпульсу ), при дії на функцію стану дає

,

де - спінове квантове число.

В силу інваріантності оператора Казиміра відносно трансляцій та перетворень групи Лоренца це власне число не залежить від вибору системи відліку, тобто . Отже, в силу характеристики незвідного представлення групи операторами Казиміра можна стверджувати, що незвідні представлення групи Пуанкаре описують частинку. Для подальших пояснень можна розглянути представлення у залежності від маси .

Класифікація Вігнера представлень групи[ред.ред. код]

1. . Власні значення ненульові. Стан характеризується квадратами маси та спіну . Стани представлення відрізняються значенням проекції спіну на задану (найчастіше обирають z) вісь, (таким чином, є спінових ступенів вільності), і неперервними власними значеннями компонент 4-оператора . Отже, представлення відповідають частинці маси , спіну , імпульсу та проекції спіну на напрямок руху .

2. . Власні значення обох операторів Казиміра обертаються в нуль. Тому кожен із відповідних векторів є світоподібним. Окрім того, . Це означає, що оператори повинні бути пропорційними: . Дійсно, тоді рівність нулю скалярного добутку тотожньо задовільняється:. Отже, стан однієї безмасової частинки характеризується одним числом . Воно має розмірність моменту імпульсу і називається спіральністю.

3. рівен нулю, проте спін приймає неперервні значення. Довжина вектора Паулі-Любанського приймає від'ємні значення. Такий тип представлення описує частинку із нульовою масою та нескінченним числом станів поляризації, що індукуються неперервним спіном.

Дивіться також[ред.ред. код]