Група Пуанкаре, Неоднорідна група Лоренца - група, що об'єднує групу Лоренца (однорідну) та групу трансляцій. Відповідно, для 4-простору-часу група - 10-параметрична:
- .
Інваріантом групи є величина (трансляційно інваріантна, на відміну від інваріанта групи Лоренца)
- .
Група названа на честь Анрі Пуанкаре.
Генератори та алгебра групи[ред. | ред. код]
Перетворення можна записати у матричному вигляді фіктивного 5-вимірного простору-часу:
.
Якщо використати операторний формалізм, що пов'язує інфінітезимальні оператори з генераторами виразом , то при використанні генераторів 3-поворотів та лоренцевських бустів утворюється шість наступних операторів:
,
.
Далі, оператор інфінітезимального перетворення, що відповідає генератору трансляцій , має вигляд (множник введений для ермітовості оператора)
.
Із структури операторів видно, що вони утворюють компоненти антисиметричного 4-тензора
,
де враховано, що 4-радіус-вектор - контраваріантний, а 4-вектор похідної - коваріантний.
Тепер можна перейти до алгебри групи Пуанкаре. Генераторами алгебри є, таким чином, оператори . Отже, алгебра Пуанкаре - алгебра виду
.
Доведення.
,
в силу комутативності похідних.
.
Далі, враховуючи комутатор
,
можна отримати
,
де знаки (а отже - і порядок індексів у тензорі ) обрані довільно.
Оператори Казиміра групи. Загальні властивості алгебри[ред. | ред. код]
Тепер можна знайти оператори Казиміра. Один із них - тривіальний і є квадратом 4-імпульсу : дійсно,
,
.
Для знаходження іншого можна ввести оператор Паулі-Любанського:
.
громіздкі викладки дозволяють отримати
,
.
Доведення.
Комутаційні співвідношення для оператора.
Просто показати нульову рівність комутатора :
,
як результат згортки симетричного тензора із антисиметричним .
Для знаходження комутатора можна використати ортогональність : дійсно,
.
Тому комутатор тотожньо рівний нулю. З іншого боку, якщо його розписати, то можна отримати
,
або, згортаючи із символами Кронекера, ,
.
Нарешті, якщо використати ці два комутатори, можна отримати
.
Квадрат оператора.
Використовуючи рівність
,
а також - умову антисиметричності тензору спіну (в силу однаковості алгебр і ), вираз для квадрату оператора Паулі-Любанського можна переписати як
,
де , а перехід до передостанньої рівності зроблений за допомогою комутаційних співвідношень групи Пуанкаре: для першого доданку
(другий-п'ятий доданки зникають через згортку симетричного тензора із антисиметричним тензором ,
для другого доданку (із використанням першого оператора Казиміра) -
.
Комутатор цього оператора із , очевидно, рівен нулю в силу . Комутатор же із оператором групи Лоренца рівен
.
У загальному випадку, комутатор будь-якого трансляційно інваріантного 4-оператора та інфінітезимального оператору трансляцій рівен нулю. Нулю також рівен комутатор 4-згортки одноіндексних операторів та , а його комутатор із будь-яким 4-вектором завжди буде рівен , оскільки визначає операторне представлення генераторів матриці перетворень групи Лоренца (скалярний оператор жє інваріантним по відношенню до перетворення, а 4-оператор перетворюється у відповідності до структури генераторів).
Зв'язок із фізикою. Одночастинкові стани[ред. | ред. код]
Орбітальний момент імпульсу та спін[ред. | ред. код]
У рамках Спеціальній теорії відносності був отриманий тензор моменту імпульсу,
,
де
-
вектори моменту імпульсу та центру енергії відповідно. При використанні формалізму квантової механіки , і вирази двох тензорів збігаються з точністю до множника .
Можна зробити невеликий відступ щодо моменту імпульсу у квантовій механіці. Із викладок, наведених вище, очевидно, що оператор 3-вектора моменту імпульсу у квантовій механіці має компоненти, що відповідають операторному представленню генераторів тривимірних обертань. Це означає, що оператор моменту імпульсу має послідовність власних чисел виду . Проте в силу координатного (і звідного) представлення оператору моменту імпульсу власні значення можуть бути лише цілими.
Величина , що відповідає незвідному представленню генератора обертань і характеризує трансформаційні властивості поля по відношенню до групи Лоренца (див. розділ "Класифікація полів..." статті Група Лоренца), може набувати як цілих, так і напівцілих значень. Проте вона також відповідає моменту імпульсу. Отже, вона не пов'язана із обертанням, а є характеристикою об'єкта типу заряду і, водночас, визначає трансформаційні властивості об'єкта по відношенню до перетворень Лоренца та поворотів. Оператори спіну та орбітального моменту імпульсу мають однакову алгебру, оскільки є представленнями генератору 3-обертів.
Оператор Паулі-Любанського із введенням квантового спіну характеризує спін частинки: повний момент імпульсу можна представити як , де є оператором спіну, а - оператором орбітального моменту .
Власні числа операторів Казиміра групи та їх зв'язок із фізичним станом частинки[ред. | ред. код]
Оператори Казиміра (точніше, їх власні числа) групи характеризують її незвідні представлення. Власні числа операторів Казиміра групи Пуанкаре характеризують масу та спін частинки. Дійсно, відповідно до фізичного змісту оператору 4-імпульсу та релятивістського зв'язку маси та енергії-імпульсу, при дії на довільну функцію-стан системи
,
де - квадрат маси частинки.
Далі, квадрат оператору Любанського-Паулі у системі, в якій просторовий імпульс частинки рівен нулю (для просторових компонент , і при діагональному вигляді операторів імпульсу ), при дії на функцію стану дає
,
де - спінове квантове число.
В силу інваріантності оператора Казиміра відносно трансляцій та перетворень групи Лоренца це власне число не залежить від вибору системи відліку, тобто . Отже, в силу характеристики незвідного представлення групи операторами Казиміра можна стверджувати, що незвідні представлення групи Пуанкаре описують частинку. Для подальших пояснень можна розглянути представлення у залежності від маси .
Класифікація Вігнера представлень групи[ред. | ред. код]
1. . Власні значення ненульові. Стан характеризується квадратами маси та спіну . Стани відрізняються значенням проєкції спіну на задану вісь (найчастіше обирають вісь z), (таким чином, є спінових ступенів свободи), і неперервними власними значеннями компонент 4-оператора . Отже, представлення відповідають частинці маси , спіну , імпульсу та проєкції спіну на напрямок руху .
2. . Власні значення обох операторів Казиміра нульові. Тому кожен із відповідних векторів є світоподібним. Окрім того, . Це означає, що оператори повинні бути пропорційними: . Справді, тоді рівність нулю скалярного добутку тотожно задовольняється: . Отже, стан однієї безмасової частинки характеризується одним числом . Воно має розмірність моменту імпульсу і називається спіральністю.
3. дорівнює нулю, проте спін набуває неперервних значень. Довжина вектора Паулі—Любанського набуває від'ємних значень. Такий тип представлення описує частинку з нульовою масою та нескінченним числом станів поляризації, що індукуються неперервним спіном.