Група кватерніона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Граф циклів Q8. Кожен колір це послідовність степенів деякого елемента, зв'язана з (1). Для прикладу, червоний цикл показує, що i 2 = −1, i 3 = −i  та i 4 = 1. А також (−i )2 = −1, (−i )3 = i  та (−i )4 = 1.

В теорії груп, група кватерніона є неабелевою групою порядку 8, ізоморфною множині восьми визначеним кватерніонам з операцією множення. Позначається Q8 і представляєтья заданням групи

де 1 (нейтральний елемент) та −1 комутують зі всіма елементами групи.

Множення елементів {±i, ±j, ±k} подібне до векторного добутку ортів в тривимірному евклідовому просторі.

Властивості[ред.ред. код]

Матричне представлення[ред.ред. код]

Група кватерніона може бути представлена як підгрупа загальної лінійної групи:

де

Всі матриці мають одиничний детермінант, тому це представлення Q8 в спеціальну лінійну група SL2(C).

Також важливим є представлення Q8 в 8 елементів 2-векторного простору над скінченним полем F3:

де

де {−1,0,1} елементами з поля F3. Всі матриці мають одиничний детермінант над F3, тому це представлення Q8 в спеціальну лінійну групу SL(2, 3). Насправді Q8 є нормальною підгрупою SL(2, 3) індексу 3.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]