Група класів ідеалів

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Група класів ідеалів — абелева група, що виникає в комутативній алгебрі і алгебраїчній теорії чисел. Вона певною мірою визначає наскільки деяке кільце Дедекінда (чи, більш загально, кільце Круля) близьке до того щоб бути факторіальним. Для факторіальних кілець і тільки для них дана група є тривіальною.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай  — кільце Дедекінда і  — його поле часток. Група класів ідеалів кільця визначається як факторгрупа

У визначенні використані позначення

Група є вільною абелевою групою, базисом якої є прості ідеали кільця .
  •  — підгрупа головних дробових ідеалів, тобто дробових ідеалів виду
для .

Також групу класів можна визначити за допомогою відношення еквівалентності: ідеали та дедекіндового кільця є еквівалентними, якщо, для деяких виконується .

Приклади[ред.ред. код]

Властивості[ред.ред. код]

  • Група класів ідеалів є тривіальною тоді і тільки тоді, коли кільце  — факторіальне.
  • Якщо  — алгебраїчне числове поле,  — його кільце цілих чисел, то відповідна група класів ідеалів є скінченною.
  • Довільна абелева група є групою класів ідеалів деякого кільця Дедекінда.

Посилання[ред.ред. код]