Групи Томпсона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У математиці під групами Томпсона (також відомі як Томпсонові групи або хамелеонові групи) маються на увазі три групи, зазвичай позначаються як FTV, які були впроваджені Ричардом Томпсоном в своїх неопублікованих рукописних замітках 1965 року. З цих трьох найбільш відомою та вивченою є F , яку часом називають безпосердньо групою Томпсона або Томпсоновою групою.

Томпсонові групи, зокрема F, відомі своїми незвичними властивостями, що зробило їх контрприкладами до багатьох загальних гіпотез у теорії груп. Всі три групи є нескінченними, та скінченно представленими. Групи T і V, є прикладами нескінченних, але скінченнопредставлених простих груп. Група F не є простою, проте її комутатор [F, F] такою є, і фактор F за цією підгрупою є вільною абелевою групою рангу 2. F є лінійно впорядкованою, має експоненційне зростання, і не містить підгрупи, ізоморфної ​​вільній групі рангу 2. Відомо, що група F не є елементарно аменабельною. Якби F не була аменабельною, то це був би ще один контрприклад до спростованої гіпотези фон Ноймана для скінченнопредставлених груп, яка припускала, що скінченнопредставлена група є аменабельною тоді й тільки тоді, коли не містить вільної групи рангу 2.

Higman (1974) впровадив нескінченну родину скінченнопредставлених простих груп, де Томпсонова група V є лише окремим випадком.

Задання[ред.ред. код]

є природнім узагальненням і зберігає чимало її властивостей. Для існує скінченне задання:

де є комутатором, тобто .

Узагальнивши для , матимемо твірних і визначальних співвідношень.

можемо також задати як:

При очевидно матимемо:

Нескінченне задання пов'язане зі скінченним як для . Аби визначити метрику слів (або ж довжину елемента) користатимемось саме скінченним представленням.

Нормальна форма[ред.ред. код]

Зі співвідношення можемо отримати, що довільний елемент подається в нормальній формі (НФ):

, де

Покажімо коректність для . Перетворивши визначальне співвідношення, маємо

(1) та
(2)

(1) гарантує, що ми завжди можемо впорядкувати -ті за зростанням чи спаданням індексу (залежно від того, в якій частині розкладу ми знаходимось). (2) забезпечує обмінювання додатнього елемента і від'ємного, тим самим відсортовуючи всі додатні елементи в лівій частині, а від'ємні — в правій частині НФ.

Таке представлення буде єдиним, якщо накладемо додаткову вимогу:

щойно в розкладі елемента трапляються і , і , то має бути або

Оскільки інакше, завдяки (2) ми виконуватимемо обміннювання елементів і з сусідніми, наближаючи їх один до одного доти, доки вони не стоятимуть поруч, і ми зможемо скоротити.

Зсуви[ред.ред. код]

Група F(p) дає змогу визначити зсув , який переводить в . Такий зсув задовільняє умові для всіх .

Інші задання[ред.ред. код]

Томпсонова група F породжується подібними операціями над двійковими деревами. Тут L і T є вузлами, а A, B і R можуть бути замінені більш розгалуженими деревами.

Група F також зображується з погляду операцій на впорядкованих кореневих двійкових деревах, або як група шматковолінійних гомеоморфізмів одиничного відрізка, що зберігають орієнтацію, недиференційовні крапки мають диадичні координати і всі похідні є ступенями двійки.

Група F може також розглядатися як дія на одиничному колі, визначаючись двома кінцевими точками одиничного відрізка, а група T як група автоморфізмів кола, отриманих шляхом додавання гомеоморфізму xx +1/2 mod 1 до F. У двійкових деревах це відповідає перестановці двох дерев під коренем. Група V отримується з Т додаванням розривного відображення, яке діє незмінним чином на напівінтервалі [0,1/2) та обмінює [1/2,3/4) і [3/4,1). У двійкових деревах це відповідає обміну двох піддерев під правим нащадком кореня (якщо він існує).

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]