Гіпербола Кіперта

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Гіпербола Кіперта трикутника ABC. Гіпербола Кіперта проходить через вершини (A, B, C), ортоцентр (H) і центроїд (G) трикутника.

Гіпербола Кіперта — гіпербола, яка визначається за даним трикутником. Якщо останній є трикутником загального положення, то ця гіпербола є єдиним конічним перетином, що проходить через його вершини, ортоцентр і центроїд.

Визначення через ізогональне спряження[ред. | ред. код]

Гіпербола Кіперта — крива, ізогонально спряжена прямій, що проходить через точку Лемуана і центр описаного кола даного трикутника.

Визначення через трикутники в трикутних координатах[ред. | ред. код]

Точка на гіперболі Кіперта.

Визначення через трикутники в трикутних координатах[1]:

Якщо три трикутники , і побудовані на сторонах трикутника , є подібними, рівнобедреними з основами на сторонах початкового трикутника, і однаково розташованими (тобто всі вони побудовані або з зовнішнього боку, або з внутрішнього), то прямі , і перетинаються в одній точці . Тоді гіперболу Кіперта можна визначити, як геометричне місце точок (див. мал.).

Якщо спільний кут при основі дорівнює , то вершини трьох трикутників мають такі трикутні координати:

Трилінійні координати довільної точки N, що лежить на гіперболі Кіперта[ред. | ред. код]

.

Рівняння гіперболи Кіперта в трикутних координатах[ред. | ред. код]

Геометричне місце точок при зміненні кута при основі трикутників між і є гіперболою Кіперта з рівнянням

,

де , ,  — трилінійні координати точки у трикутнику.

Відомі точки, що лежать на гіперболі Кіперта[ред. | ред. код]

Серед точок, що лежать на гіперболі Кіперта, є такі важливі точки трикутника[2]:

Значення Точка
, центроїд трикутника (X2)
(або ) , ортоцентр трикутника (X4)
[3] Центр Шпікера (X10)
Зовнішня точка Вектена (X485)
Внутрішня точка Вектена (X486)
, перша точка Наполеона (X17)
, друга точка Наполеона (X18)
, перша точка Ферма (X13)
, Друга точка Ферма (X14)
(якщо )
(якщо )
вершина
(якщо )
(якщо )
вершина
(якщо )

(якщо )

вершина

Перелік точок, що лежать на гіперболі Кіперта[ред. | ред. код]

Гіпербола Кіперта проходить через такі центри трикутника X(i):

Узагальнення теореми Лестер у вигляді теореми Б. Гіберта (2000)[ред. | ред. код]

Див. також: Теорема Лестер

Теорема Б. Гіберта (2000) узагальнює теорему про коло Лестер, а саме: будь-яке окружність, діаметр якого є хордою гіперболи Кіперта трикутника і перпендикулярний до його прямої Ейлера, проходить через точки Ферма[4][5].

Історія[ред. | ред. код]

Назву ця гіпербола отримала на честь німецького математика Фрідріха Вільгельма Августа Людвіга Кіперта[de] (1846—1934), який відкрив її.[1]

Властивості[ред. | ред. код]

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. а б в г Eddy, Fritsch, 1994, с. 188—205.
  2. Акопян А. В., Заславский А. А. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — М. : МЦНМО, 2011. — С. 125-126. — 148 с. — ISBN 978-5-94057-732-4.
  3. Weisstein, Eric W. Гіпербола Кіперта(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  4. B. Gibert (2000): [ Message 1270]. Entry in the Hyacinthos online forum, 2000-08-22. Accessed on 2014-10-09.
  5. Paul Yiu (2010), The circles of Lester, Evans, Parry, and their generalizations. Forum Geometricorum, volume 10, pages 175—209. MR2868943

Література[ред. | ред. код]

  • Eddy R. H., Fritsch R. . The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle // Math Magazine, 1994, 67. — P. 188—205.