Гіперболоїд

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Однопорожнинний гіперболоїд
Двопорожнинний гіперболоїд

Гіперболо́їд (грец. від hyperbole — гіпербола, і eidos — подібність) — вид поверхні другого порядку в тривимірному просторі, що задається в Декартових координатах рівнянням

 (Однопорожнинний гіперболоїд),

де a і b- дійсні півосі, а c- уявна піввісь;

або

 (двопорожнинний гіперболоїд),

де a і b — уявні півосі, а c- дійсна піввісь.

Якщо a = b, то така поверхня зветься — гіперболоїд обертання. Однопорожнинний гіперболоїд обертання можна отримати обертанням гіперболи навколо її уявної осі, двопорожнинний — навколо дійсної. Двопорожнинний гіперболоїд обертання також є геометричним місцем точок P, модуль різниці відстаней від яких до двох заданих точок A і B є сталим: . У такому випадку точки A і B звуться фокусами Гіперболоїда.

Однопорожнинний гіперболоїд є двічі лінійчатою поверхнею. Якщо він є гіперболоїдом обертання, то його можна отримати обертанням прямої навколо іншої прямої, що є мимобіжною з нею. Цю властивість лінійчатих однопорожнинних гіперболоїдів використовують в архітектурі. Зокрема, вежа Шухова в Москві є гіперболоїдною конструкцією. Вона складена саме з гіперболоїдів, що утворені прямими стрижнями.

Більш, ніж у трьох вимірах[ред.ред. код]

Уявні гіперболоїди — звичне явище в математиці високих розмірностей. Наприклад, у псевдо-Евклідовому просторі записавши Квадратичну форму:


Якщо c є довільною сталою, то частина простору, в межах

зветься гіперболоїд. У виродженому випадку c = 0.

Кривина та тензор Річчі гіперболоїда[ред.ред. код]

Геометрію гіперболоїда можна просто описати, представивши його вкладеним в фіктивний чотиривимірний простір:

.

Введенням координат

можна задовольнити , а елементи довжин на поверхні матимуть вигляд (елементарно перевіряється підстановкою)

.

Як видно, метричний тензор має специфічну структуру: є діагональним, перший діагональний елемент рівен одиниці, другий залежить від першої змінної, третій — від першої і другої, а від третьої змінної залежності немає, що, деякою мірою, відповідає ізотропії простору.

Виходячи із цього, можна визначити вирази для символів Кристоффеля: маючи загальний вираз

,

де метричний тензор має вигляд

,

для частинних випадків виразів можна отримати

;

;

оскільки, в силу структури метричних тензорів, ;

;

.

Тепер можна спростити (якомога більше зменшити кількість сум) вираз для тензору Річчі: маючи загальне визначення,

,

та вирази ,

для тензора можна отримати (сума лише по індексам )

.

Тепер можна застосувати спрощений вигляд для тензору Річчі до метрики описаних вище просторів. Наприклад, можна взяти гіперболічний простір. Треба обчислити компоненти . Спочатку доведеться отримати, користуючись , явний вигляд для символів Кристоффеля:

,

,

,

,

,

.

Тоді, наприклад, компонента 11 тензора, із урахуванням цих виразів та , має вираз

.

Компонента 22:

.

Компонента 33:

.

Аналогічні викладки (перевіряються повністю ідентично попереднім) дають

.

Отже, для гіперболоїда

.


Згортаючи тензор Річчі із метричним тензором (відповідно до визначення скалярної кривини), можна отримати, що для гіперболоїда скалярна кривина рівна

.

Отже, гіперболічний простір — простір з постійною скалярною кривиною.

У мистецтві[ред.ред. код]

В архітектурі[ред.ред. код]

Проект 350-метрової вежі В. Г. Шухова, 1919

Лінійчата конструкція, що має форму однополостного гіперболоїда, є жорсткої: якщо балки з'єднати шарнірно, гіперболоїдна конструкція все одно буде зберігати свою форму під дією зовнішніх сил.

Для високих споруд основну небезпеку несе вітрове навантаження, а у ґратчастої конструкції вона невелика. Ці особливості роблять гіперболоїдні конструкції міцними, незважаючи на невисоку матеріаломісткість.

Прикладами гіперболоїдних конструкцій є:

У літературі[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.