Гіпергеометрична функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Гіпергеометрична функція — спеціальна функція, що є розв'язком гіпергеометричного рівняння

Гіпергеометрична функція може бути визначена з допомогою ряду Гауса:

де a, b,c — параметри, що приймають будь-які дійсні або комплексні значення, окрім c = 0, −1, −2,…, z — комплексна змінна,

 — символ Похгаммера,

.

Функція F(a, b;c;z) називається гіпергеометричною функцією першого роду.

Ряд збігається абсолютно і рівномірно при |z|<1; збіжність розповсюджується і на одиничне коло, якщо ; при збігається в усіх точках одиничного кола, окрім z=l. Проте існує аналітичне продовження гіпергеометричної функції у зовнішність одиничного кола [z|>l з розрізом . Функція F(a, b;c;z) — однозначна аналітична в комплексній площині z з розрізом . Якщо а або b — нуль або ціле від'ємне число, то ряд обривається на скінченному числі членів і гіпергеометрична функція є многочленом відносно z.

Елементарні співвідношення[ред.ред. код]

Шість функцій , і

називаються суміжними з гіпергеометричною функцією . Функція є лінійною комбінацією будь-яких двох суміжних з нею функцій. 15 формул такого типа вперше були знайдені Гаусом. Вони одержуються при порівнянні правих частин:

У рівностях використано позначення і т. д.

Асоційовані функції F(a + m,b + n; c + l;z), де m, n, l — цілі числа, можуть бути одержані повторними застосуваннями співвідношень Гауса. Мають місце формули диференціювання

Гіпергеометричне рівняння має 24 розв'язки виду

де лінійні функції a,b,c, а z і z' зв'язані дробово-лінійним перетворенням. Будь-які три розв'язки лінійно залежні. Існують квадратичні, кубічні і перетворення вищого порядку.

Основні інтегральні представлення[ред.ред. код]

Має місце формула Ейлера:

при |z| < 1 чи |z| = 1 за умови визначеності обох сторін. Розкладаючи (1 − zx)−a у біноміальний ряд і застосовуючи контурні інтеграли для функції бети, можна одержати інші інтегральні представлення .

Асимптотична поведінка гіпергеометричної функції[ред.ред. код]

При великих значеннях |z| гіпергеометрична функція повністю описується з допомогою формул, що дають аналітичне продовження в околі точки . Якщо a,b,z - фіксовані числа і |c| достатньо велике то при |z|<l:

При |z|>l є аналогічний вираз.

Представлення функцій через гіпергеометричну функцію[ред.ред. код]

  • Повний еліптичний інтеграл першого роду:
  • Повний еліптичний інтеграл другого роду:
  • Многочлени Лежандра:
  • Приєднана функція Лежандра:
  • Функції Бесселя:

Література[ред.ред. код]

  • Кузнецов Д. С.: Специальные функции — М.:«Высшая школа», 1962
  • Бейтмен Г., Эрдейи А.:Высшие трансцендентные функции, том 1, 2-е изд. — М.:«Наука», 1973