Гіпероктаедр

Гіпероктаедр — геометрична фігура в n-вимірному евклідовому просторі: правильний політоп, двоїстий n-вимірному гіперкубу. Інші назви: кокуб, ортоплекс, крос-політоп.

Символ Шлефлі n-вимірного гіпероктаедра— {3;3;…;3;4}, де всього в дужках (n-1) число.

Гіпероктаедр можна розуміти як кулю в метриці міських кварталів.

Часткові випадки

Число вимірів n	Назва фігури	Символ Шлефлі	Зображення
1	відрізок	{}
2	квадрат	{4}
3	октаедр	{3; 4}
4	шістнадцятикомірник	{3; 3; 4}
5	5-ортоплекс	{3,3,3,4}

Опис

$n$-вимірний гіпероктаедр має $2n$ вершин; будь-яка вершина з'єднана ребром з іншою — крім (при $n>1)$ вершини, симетричної їй відносно центра політопа.

Всі його $k$-вимірні гіперграні $(k<n)$ — однакові правильні симплекси; їх число дорівнює $2^{k+1}C_{n}^{k+1}.$

Кут між двома суміжними $(n-1)$-вимірними гіпергранями (при $n>1)$ дорівнює $\arccos \left({\frac {2-n}{n}}\right)$.

$n$-вимірний гіпероктаедр $(n>1)$ можна подати як дві однакові правильні $n$-вимірних піраміди, прикладені одна до одної своїми основами у формі $(n-1)$-вимірного гіпероктаедра.

В координатах

$n$-вимірний гіпероктаедр можна розташувати в декартовій системі координат так, щоб його вершини мали координати $(\pm 1;0;\ldots ;0),$ $(0;\pm 1;\ldots ;0),\ldots ,$ $(0;0;\ldots ;\pm 1).$ При цьому кожна з $2^{n}$ його $(n-1)$-вимірних гіперграней буде розташовуватися в одному з $2^{n}$ ортантів $n$-вимірного простору.

Початок координат $(0;0;...;0)$ буде центром симетрії політопа, а також центром його вписаної, описаної і напівуписаних гіперсфер.

Поверхня гіпероктаедра буде геометричним місцем точок, $(x_{1};x_{2};\ldots ;x_{n}),$ чиї координати задовольняють рівнянню

$\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|=1,$

а внутрішність — геометричним місцем точок, для яких

$\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|<1.$

Метричні характеристики

Якщо $n$-вимірний гіпероктаедр $(n>1)$ має ребро довжини $a,$ його $n$-вимірний гіпероб'єм і $(n-1)$-вимірна гіперплоща поверхні виражаються відповідно як

$V_{n}={\frac {(a{\sqrt {2}})^{n}}{n!}},$

$S_{n-1}={\frac {a^{n-1}{\sqrt {n2^{n+1}}}}{(n-1)!}}.$

Радіус описаної $(n-1)$-вимірної гіперсфери (що проходить через усі вершини) при цьому дорівнює

$R=\rho _{0}={\frac {a}{\sqrt {2}}},$

радіус $k$-ї напівуписаної гіперсфери (дотикається до всіх $k$-вимірних гіперграней у їх центрах; $k<n$) —

$\rho _{k}={\frac {a}{\sqrt {2(k+1)}}},$

радіус уписаної гіперсфери (дотикається до всіх $(n-1)$-вимірних гіперграней у їх центрах) —

$r=\rho _{n-1}={\frac {a}{\sqrt {2n}}}.$

Посилання

• Weisstein, Eric W. Гіпероктаедр(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.