Гіперсфера

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Проекція тримірної проекції аппроксимації гіперсфери чотирьохмірного простору

Гіперсфера — це множина точок многовида, рівновіддалених від заданої точки (центра гіперсфери).

Як бачимо, поняття гіперсфера є узагальненням кола і сфери у випадку, коли розглядається геометрія на довільному многовиді, а не лише на площині чи у тривимірному евклідовому просторі.

Рівняння гіперсфери в евклідовому просторі[ред.ред. код]

Розглянемо гіперсферу в N-вимірному евклідовому просторі. В цьому просторі будемо розглядати прямокутну декартову систему координат \{x^1, x^2, \dots x^N \}, початок якої збігається з центром гіперсфери. Тоді скалярний квадрат радіус-вектора \mathbf{r} для точки на гіперсфері дорівнює квадрату радіуса a гіперсфери:

(1)\qquad  \mathbf{r}^2 = (\mathbf{r} \cdot \mathbf{r}) = a^2

або, розписуючи скалярний добуток в координатах, одержуємо рівняння гіперсфери:

(2) \qquad (x^1)^2 + (x^2)^2 + \dots + (x^N)^2 = \sum_{i=1}^N (x^i)^2 = a^2

Координати на гіперсфері та координатні вектори[ред.ред. код]

Ми можемо із рівняння (2) виразити одну із координат, скажімо x^N, через решту n = N - 1 координату:

(3) \qquad x^N = \pm \sqrt{a^2 - \sum_{i=1}^n (x^i)^2}

Знак плюс (+) в цій формулі відповідає верхній півсфері, а знак мінус — нижній. Розглянемо верхню півсферу. Кожну точку цієї півсфери можна задати набором n = N - 1 чисел \{ x^1, x^2, \dots x^n \}, які збігаються з декартовими координатами охоплюючого простору:

(4) \qquad \mathbf{r} = \mathbf{r}(u^1, u^2, \dots u^n)

де

(6) \qquad u^1 = x^1,\; u^2 = x^2, \; \dots \; u^n = x^n

Радіус-вектор \mathbf{r} можна записати покомпонентно у вигляді вектор-рядка:

(7) \qquad \mathbf{r} = \{ u^1, u^2, \dots u^n, z \}

де функція z = z(u^1, \dots u^n) дається формулою (3) з додатнім знаком:

(8) \qquad z = \sqrt{a^2 - \sum_{i=1}^n (u^i)^2}

Ми можемо обчислити координатний вектор \mathbf{r}_i, беручи похідну формули (7) по відповідній координаті:

(9) \qquad \mathbf{r}_i = {\partial \mathbf{r} \over \partial u^i} = \{0, 0, \dots 1, \dots 0, z_i \}

В фігурних дужках одиниця стоїть на i-тому місці, z_i = {\partial z \over \partial u^i}, а решта координат дорівнюють нулю.

Коефіцієнти першої та другої квадратичних форм[ред.ред. код]

Із формули (9) легко можна обчислити метричний тензор на гіперсфері:

(10) \qquad g_{ij} = (\mathbf{r}_i \cdot \mathbf{r}_j) = \delta_{ij} + z_i z_j

Далі, за аналогією з колом або звичайною сферою можна здогадатися, що вектор нормалі \mathbf{n} до гіперсфери паралельний радіус-вектору \mathbf{r}. Дійсно, розглядаючи похідні рівняння (1) по координатах, маємо:

(11) \qquad {\partial \over \partial u^i} (\mathbf{r} \cdot \mathbf{r}) = 2 (\mathbf{r} \cdot \mathbf{r}_i) = 0

Тобто радіус-вектор \mathbf{r} ортогональний базисним координатним векторам \mathbf{r}_i, а отже ортогональний поверхні гіперсфери. Якщо ми направимо одиничний вектор нормалі \mathbf{n} всередину сфери, то:

(12) \qquad  \mathbf{r} = - |\mathbf{r}| \mathbf{n}= - a \mathbf{n}, \qquad \mathbf{n} = -{\mathbf{r} \over a}

Із розкладу вектора другої похідної радіус-вектора на паралельну і перпендикулярну щодо многовида частини:

(13) \qquad {\partial^2 \mathbf{r} \over \partial u^i \partial u^j} = \mathbf{r}_{ij} = \Gamma^k_{ij} \mathbf{r}_k 
+ \mathbf{n} b_{ij}

можна одержати коефіцієнти другої квадратичної форми b_{ij} через скалярні добутки:

(14) \qquad b_{ij} = (\mathbf{n} \cdot \mathbf{r}_{ij}) = - {1 \over a} (\mathbf{r} \cdot \mathbf{r}_{ij})

Далі, диференціюючи формулу (11) по u^j, маємо таку рівність:

(15) \qquad 0 = {\partial \over \partial u^j} (\mathbf{r} \cdot \mathbf{r}_i) =
 (\mathbf{r}_j \cdot \mathbf{r}_i) + (\mathbf{r} \cdot \mathbf{r}_{ij}) = g_{ij} - a b_{ij}

Отже коефіцієнти другої квадратичної форми пропорційні метричному тензору:

(16) \qquad b_{ij} = {1 \over a} g_{ij}

Це сподіваний результат, він означає, що проведені з однієї точки на гіперсфері в різних напрямках геодезичні лінії мають однакову кривину, яка є числом, оберненим до радіуса гіперсфери. Дійсно, нехай ми позначимо через \boldsymbol{\tau} = {d \mathbf{r} \over d s} одиничний дотичний вектор до геодезичної, тоді кривина геодезичної лінії дорівнює:

(17) \qquad \mathbf{k} = \mathbf{b}_{ij} \tau^i \tau^j = 
\mathbf{n} {1 \over a} g_{ij} \tau^i \tau^j ={\mathbf{n} \over a}

Тензор Рімана[ред.ред. код]

Маючи формулу (16) для коефіцієнтів другої квадратичної форми, легко знайти, що тензор Рімана R_{ijkl} у випадку гіперсфери пропорційний тензору метричної матрьошки g_{ij, kl}:

(18) \qquad R_{ijkl} = b_{ik} b_{jl} - b_{il} b_{jk} = {1 \over a^2} \left ( 
g_{ik} g_{il} - g_{il} g_{jk}\right ) =  {1 \over a^2} \, g_{ij, kl}

Цю ж формулу, хоча і значно складніше, можна одержати тільки із внутрішньої геометрії, користуючись виразом (10) для метричного тензора g_{ij}. Спочатку обчислюємо символи Крістофеля першого роду:

(19) \qquad \Gamma_{ij,k} = {1 \over 2} \left (\partial_i g_{kj} + \partial_j g_{ik} - \partial_k g_{ij} \right)
={1 \over 2} \left ( \partial_i (z_k z_j) + \partial_j (z_i z_k) - \partial_k (z_i z_j)\right ) =
\qquad = {1 \over 2} \left ( z_{ik} z_j + z_k z_{ij} + z_{ij} z_k + z_i z_{jk} - z_{ik} z_j - z_i z_{jk} \right )
= z_k z_{ij}

В цій формулі фігурують перші та другі похідні від фунції багатьох змінних z = z(u^1, u^2, \dots u^n) (формула 8). Обчислимо їх:

(20) \qquad z_i = {\partial \over \partial u^i} \sqrt{a^2 - \sum (u^k)^2} = - {u^i \over \sqrt{a^2 - \sum (u^k)^2}}
= - {u^i \over z}
(21) \qquad z_{ij} = \partial_j \left ( - {u^i \over z} \right ) = - {\delta_{ij} \over z} + 
 u^i {z_j \over z^2} = - {\delta_{ij} + z_i z_j \over z} = - {g_{ij} \over z}

Тензор Рімана можна обчислити за наступною формулою:

(22) \qquad R^s_{\;ijk} = \partial_j \Gamma^s_{ki} - \partial_k \Gamma^s_{ji} + \Gamma^s_{jp} \Gamma^p_{ki}
- \Gamma^s_{kp} \Gamma^p_{ji}

Щоб скористатися цією формулою, нам потрібні символи Крістофеля другого роду (з одним верхнім індексом). Але перш ніж взятися за обчислення символів Крістофеля другого роду, спробуємо опустити в формулі (22) індекс s:

(23) \qquad R_{lijk} = g_{ls} R^s_{\;ijk} = \left ( \partial_j (g_{ls} \Gamma^s_{ki}) - 
(\partial_j g_{ls}) \Gamma^s_{ki} \right ) - \left ( \partial_k (g_{ls} \Gamma^s_{ji}) -
(\partial_k g_{ls}) \Gamma^s_{ji} \right ) + g_{ls} \Gamma^s_{jp} \Gamma^p_{ki} -
g_{ls} \Gamma^s_{kp} \Gamma^p_{ji} =
\qquad = \partial_j \Gamma_{ki,l} - \left( \Gamma_{jl, s} + \Gamma_{js,l} \right ) \Gamma^s_{ki}
- \partial_k \Gamma_{ji,l} + \left( \Gamma_{kl,s} + \Gamma_{ks,l} \right ) \Gamma^s_{ji} +
\Gamma_{jp,l} \Gamma^p_{ki} - \Gamma_{kp,l} \Gamma^p_{ji} =
\qquad = \partial_j \Gamma_{ki,l} - \partial_k \Gamma_{ji,l} + \Gamma_{kl,p} \Gamma^p_{ji}
- \Gamma_{jl,p} \Gamma^p_{ki}

або після перейменування індексів:

(24) \qquad R_{ijkl} = \partial_k \Gamma_{lj,i} - \partial_l \Gamma_{kj,i} +
\Gamma_{li, s} \Gamma^s_{kj} - \Gamma_{ki,s} \Gamma^s_{lj}

В формулі (24) все ще зустрічаються символи Крістофеля другого роду, і нам треба їх обчислити. Але спочатку нам буде потрібен обернений метричний тензор g^{ij}. Можна вгадати, що формула для оберненого метричного тензора буде аналогічною формулі (10), але другий доданок взятий з деяким коефіцієнтом k:

(25) \qquad g^{ij} = \delta_{ij} + k z_i z_j

Цей коефіцієнт легко знаходиться з умови, що матриці (10) і (25) є взаємно оберненими, а тому їхній добуток дорівнює одиничній матриці:

(26) \qquad \delta_{ij} = \sum_s g_{is} g^{sj} = 
\sum_s \left ( \delta_{is} + z_i z_s \right) \left ( \delta_{sj} + k z_s z_j \right ) =
\qquad = \sum_s \left ( \delta_{is} \delta_{sj} + k \delta_{is} z_s z_j + 
\delta_{sj} z_i z_s + k z_i z_s z_s z_j \right ) = \delta_{ij} + k z_i z_j + z_i z_j + k q z_i z_j

де буквою q позначено суму квадратів похідних (20):

(27) \qquad q = \sum_s z_s^2 = \sum_s \left ( - {u^s \over z} \right )^2 = 
{ a^2 - z^2 \over z^2} = {a^2 \over z^2} - 1

Порівнюючи крайні вирази в формулі (26), ми бачимо, що сума трьох останніх доданків має дорівнювати нулю, або:

(28) \qquad 0 = k + 1 + k q = k + 1 + k \left ({a^2 \over z^2} - 1 \right ) = 1 + k {a^2 \over z^2}

Звідси легко знайти коефіцієнт k, і ми можемо підставити його в формулу (25):

(29) \qquad g^{ij} = \delta_{ij} - {z^2 \over a^2} z_i z_j

Далі із формул (19) і (29) знаходимо символ Крістофеля другого роду:

(30) \qquad \Gamma^s_{ij} = g^{sk} \Gamma_{ij,k} = 
\sum_k \left ( \delta_{sk} - {z^2 \over a^2} z_s z_k \right ) z_k z_{ij} = 
\left ( 1 - {z^2 \over a^2} q \right ) z_s z_{ij} = {z^2 \over a^2} z_s z_{ij}

Нарешті, підставляємо (19) і (30) в формулу (24) для тензора Рімана:

(31) \qquad R_{ijkl} = \partial_k (z_i z_{jl}) - \partial_l (z_i z_{jk}) +
\sum_s \left (z_s z_{il} {z^2 \over a^2} z_s z_{jk} - z_s z_{ik} {z^2 \over a^2} z_s z_{jl} \right ) =
\qquad = z_{ik} z_{jl} - z_{il} z_{jk} - q {z^2 \over a^2} \left ( 
z_{ik} z_{jl} -z_{il} z_{jk} \right ) = {z^2 \over a^2} \left ( 
z_{ik} z_{jl} -z_{il} z_{jk} \right )

Якщо врахувати формулу (21) для z_{ij}, то ми знову одержимо формулу (18).

Кривини Ґаусса, тензори Річчі і тензори Ейнштейна[ред.ред. код]

Оскільки згідно з формулою (17) всі головні кривини гіперсфери однакові:

(32) \qquad k_1 = k_2 = \dots = k_n = {1 \over a}

то легко можна обчислити кривину Ґаусса K^{[m]}, як симетричний многочлен від головних кривин:

(33) \qquad K^{[m]} = (-1)^m \sum_{i_1 < i_2 < \dots < i_m} k_{i_1} k_{i_2} \cdots k_{i_m} = {(-1)^m \over a^m} C^m_n

де C^m_n = {n! \over m! (n-m)!}біноміальний коефіцієнт.

Також неважко обчислюється степеневий тензор Річчі, якщо врахувати формулу (16) та формулу самозгортки тензора метричної матрьошки:

(34) \qquad R^{[m]\, i}_j = {(-1)^m \over (m-1)!} g^{i s_2 \dots s_m}_{p_1 p_2 \dots p_m}  b^{p_1}_j b^{p_2}_{s_2} \cdots b^{p_m}_{s_m} = {(-1)^m \over a^m} C^{m-1}_{n-1} \delta^i_j

Він виявляється пропорційним метричному тензору.

Відповідний тензор Ейнштейна можна знайти, користуючись попередніми двома формулами:

(35) \qquad G^{[m]\, i}_j = R^{[m]\, i}_j - K^{[m]} \delta^i_j = {(-1)^m \over a^m} 
\left ( C^{m-1}_{n-1} - C^m_n \right ) \delta^i_j = {(-1)^{m-1} \over a^m} C^m_{n-1} \delta^i_j

Примітка: Формула (35) виявилася корисною для пошуку симетричного розв'язку рівняння Ейнштейна з космологічним членом. Дійсно, в формулі (35), так само як і в рівнянні Ейнштейна, тензор Ейнштейна пропорційний метричному тензору. Оскільки метрика фізичного простору-часу є псевдоевклідовою (знаконевизначеною) розмірності чотири, то очевидно що розв'язок має бути аналогом гіперсфери в п'ятивимірному псевдоевклідовому просторі - Простір де Сіттера

Об'єм (або площа) гіперсфери[ред.ред. код]

Розглянемо наступний кратний інтеграл Ґаусса в N-вимірному евклідовому просторі:

(36) \qquad I_N = \int e^{- (x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_N^2)} d x_1 d x_2 \cdots dx_N

Цей інтеграл можна обчислювати двома способами.

По-перше, за теоремою Фубіні він розкладається в добуток однакових одновимірних інтегралів Ґаусса:

(37) \qquad I_N = \int e^{-x_1^2} d x_1 \cdots \int e^{-x_N^2} d x_N = I^N

Де введено позначення одновимірного інтеграла Ґаусса:

(38) \qquad I = \int e^{-x^2} d x

По-друге, сума квадратів координат в формулі (36) дорівнює квадрату відстані від точки початку координат:

(39) \qquad r^2 = x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_N^2

і ми можемо інтегрувати (36) спочатку по поверхні гіперсфери радіуса r, де підінтегральна функція незмінна, а потім уже результат по радіусу від нуля до нескінченності:

(40) \qquad I_N = \int_0^{\propto}E(r) \, d r

Інтеграл по гіперсфері легко обчислюється:

(41) \qquad E(r) = \int_{\mbox{hypersphere}} e^{-r^2} \, d S = e^{-r^2} \int_{\mbox{hypersphere}} dS
= e^{-r^2} r^{N-1} \omega_N

Тут ми винесли постійний множник за знак інтеграла, і врахували, що при перетворенні подібності з коефіцієнтом r площа одиничної гіперсфери \omega_N збільшується в r^n разів, де n=N-1 - розмірність цієї площі. Підставляючи (41) в (40), одержуємо одновимірний інтеграл, який підстановкою r^2 = t зводиться до гамма-функції Ейлера \Gamma(a) = \int_0^{\propto} e^{-t} t^{a-1} d t підстановкою r^2 = t:

(42) \qquad I_N = \omega_N \int_0^{\propto} e^{-r^2} r^{N-1} dr = 
\omega_N \int_0^{\propto} e^{-t} t^{N-1 \over 2} {dt \over 2 \sqrt{t}} = 
{\omega_N \over 2 } \int_0^{\propto} e^{-t} t^{{N \over 2} -1} d t = {\omega_N \over 2 } \Gamma({N \over 2})

Порівнюючи цей результат з формулою (37), ми можемо обчислити площу \omega_N гіперсфери одиничного радіуса через інтеграл Ґаусса (38):

(43) \qquad {\omega_N \over 2 } \Gamma({N \over 2}) = I^N
(44) \qquad \omega_N = {2 I^N \over \Gamma({N \over 2})}

У випадку розмірності два, ми знаємо формулу довжини кола L = \omega_2 = 2 \pi, і в цьому випадку можемо обчислити інтегал Ґаусса:

(45) \qquad 2 \pi = \omega_2 = {2 I^2 \over \Gamma(1)} = 2 I^2
(46) \qquad I = \sqrt{\pi}

Підставляючи (46) в (44) знаходимо остаточну формулу для площі n-вимірної гіперсфери одиничного радіуса:

(47) \qquad \omega_N = {2 \pi^{N \over 2} \over \Gamma({N \over 2})}

де N = n+1 - розмірність евклідового простору, в який вміщена гіперсфера.

Об'єм N-вимірної кулі[ред.ред. код]

Для обчислення об'єму кулі радіуса R, розібємо кулю концентричними гіперсферами радіуса r, \; (0 < r \le R) і площею S(r) = \omega_N r^{N - 1} на прошарки товщиною d r, тоді:

(48) \qquad V(R) = \int_0^R S(r) \, d r = \omega_N \int_0^R r^{N-1} d r = {\omega_N \over N} R^N

Див. також[ред.ред. код]