Гіперсфера

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Проекція тримірної проекції аппроксимації гіперсфери чотирьохмірного простору

Гіперсфера — це множина точок многовида, рівновіддалених від заданої точки (центра гіперсфери).

Як бачимо, поняття гіперсфера є узагальненням кола і сфери у випадку, коли розглядається геометрія на довільному многовиді, а не лише на площині чи у тривимірному евклідовому просторі.

Рівняння гіперсфери в евклідовому просторі[ред.ред. код]

Розглянемо гіперсферу в N-вимірному евклідовому просторі. В цьому просторі будемо розглядати прямокутну декартову систему координат , початок якої збігається з центром гіперсфери. Тоді скалярний квадрат радіус-вектора для точки на гіперсфері дорівнює квадрату радіуса гіперсфери:

або, розписуючи скалярний добуток в координатах, одержуємо рівняння гіперсфери:

Координати на гіперсфері та координатні вектори[ред.ред. код]

Ми можемо із рівняння (2) виразити одну із координат, скажімо , через решту координату:

Знак плюс (+) в цій формулі відповідає верхній півсфері, а знак мінус — нижній. Розглянемо верхню півсферу. Кожну точку цієї півсфери можна задати набором чисел , які збігаються з декартовими координатами охоплюючого простору:

де

Радіус-вектор можна записати покомпонентно у вигляді вектор-рядка:

де функція дається формулою (3) з додатнім знаком:

Ми можемо обчислити координатний вектор , беручи похідну формули (7) по відповідній координаті:

В фігурних дужках одиниця стоїть на -тому місці, , а решта координат дорівнюють нулю.

Коефіцієнти першої та другої квадратичних форм[ред.ред. код]

Із формули (9) легко можна обчислити метричний тензор на гіперсфері:

Далі, за аналогією з колом або звичайною сферою можна здогадатися, що вектор нормалі до гіперсфери паралельний радіус-вектору . Дійсно, розглядаючи похідні рівняння (1) по координатах, маємо:

Тобто радіус-вектор ортогональний базисним координатним векторам , а отже ортогональний поверхні гіперсфери. Якщо ми направимо одиничний вектор нормалі всередину сфери, то:

Із розкладу вектора другої похідної радіус-вектора на паралельну і перпендикулярну щодо многовида частини:

можна одержати коефіцієнти другої квадратичної форми через скалярні добутки:

Далі, диференціюючи формулу (11) по , маємо таку рівність:

Отже коефіцієнти другої квадратичної форми пропорційні метричному тензору:

Це сподіваний результат, він означає, що проведені з однієї точки на гіперсфері в різних напрямках геодезичні лінії мають однакову кривину, яка є числом, оберненим до радіуса гіперсфери. Дійсно, нехай ми позначимо через одиничний дотичний вектор до геодезичної, тоді кривина геодезичної лінії дорівнює:

Тензор Рімана[ред.ред. код]

Маючи формулу (16) для коефіцієнтів другої квадратичної форми, легко знайти, що тензор Рімана у випадку гіперсфери пропорційний тензору метричної матрьошки :

Цю ж формулу, хоча і значно складніше, можна одержати тільки із внутрішньої геометрії, користуючись виразом (10) для метричного тензора . Спочатку обчислюємо символи Крістофеля першого роду:

В цій формулі фігурують перші та другі похідні від фунції багатьох змінних (формула 8). Обчислимо їх:

Тензор Рімана можна обчислити за наступною формулою:

Щоб скористатися цією формулою, нам потрібні символи Крістофеля другого роду (з одним верхнім індексом). Але перш ніж взятися за обчислення символів Крістофеля другого роду, спробуємо опустити в формулі (22) індекс :

або після перейменування індексів:

В формулі (24) все ще зустрічаються символи Крістофеля другого роду, і нам треба їх обчислити. Але спочатку нам буде потрібен обернений метричний тензор . Можна вгадати, що формула для оберненого метричного тензора буде аналогічною формулі (10), але другий доданок взятий з деяким коефіцієнтом :

Цей коефіцієнт легко знаходиться з умови, що матриці (10) і (25) є взаємно оберненими, а тому їхній добуток дорівнює одиничній матриці:

де буквою позначено суму квадратів похідних (20):

Порівнюючи крайні вирази в формулі (26), ми бачимо, що сума трьох останніх доданків має дорівнювати нулю, або:

Звідси легко знайти коефіцієнт , і ми можемо підставити його в формулу (25):

Далі із формул (19) і (29) знаходимо символ Крістофеля другого роду:

Нарешті, підставляємо (19) і (30) в формулу (24) для тензора Рімана:

Якщо врахувати формулу (21) для , то ми знову одержимо формулу (18).

Кривини Ґаусса, тензори Річчі і тензори Ейнштейна[ред.ред. код]

Оскільки згідно з формулою (17) всі головні кривини гіперсфери однакові:

то легко можна обчислити кривину Ґаусса , як симетричний многочлен від головних кривин:

де біноміальний коефіцієнт.

Також неважко обчислюється степеневий тензор Річчі, якщо врахувати формулу (16) та формулу самозгортки тензора метричної матрьошки:

Він виявляється пропорційним метричному тензору.

Відповідний тензор Ейнштейна можна знайти, користуючись попередніми двома формулами:

Примітка: Формула (35) виявилася корисною для пошуку симетричного розв'язку рівняння Ейнштейна з космологічним членом. Дійсно, в формулі (35), так само як і в рівнянні Ейнштейна, тензор Ейнштейна пропорційний метричному тензору. Оскільки метрика фізичного простору-часу є псевдоевклідовою (знаконевизначеною) розмірності чотири, то очевидно що розв'язок має бути аналогом гіперсфери в п'ятивимірному псевдоевклідовому просторі - Простір де Сіттера

Об'єм (або площа) гіперсфери[ред.ред. код]

Розглянемо наступний кратний інтеграл Ґаусса в -вимірному евклідовому просторі:

Цей інтеграл можна обчислювати двома способами.

По-перше, за теоремою Фубіні він розкладається в добуток однакових одновимірних інтегралів Ґаусса:

Де введено позначення одновимірного інтеграла Ґаусса:

По-друге, сума квадратів координат в формулі (36) дорівнює квадрату відстані від точки початку координат:

і ми можемо інтегрувати (36) спочатку по поверхні гіперсфери радіуса , де підінтегральна функція незмінна, а потім уже результат по радіусу від нуля до нескінченності:

Інтеграл по гіперсфері легко обчислюється:

Тут ми винесли постійний множник за знак інтеграла, і врахували, що при перетворенні подібності з коефіцієнтом площа одиничної гіперсфери збільшується в разів, де - розмірність цієї площі. Підставляючи (41) в (40), одержуємо одновимірний інтеграл, який підстановкою зводиться до гамма-функції Ейлера підстановкою :

Порівнюючи цей результат з формулою (37), ми можемо обчислити площу гіперсфери одиничного радіуса через інтеграл Ґаусса (38):

У випадку розмірності два, ми знаємо формулу довжини кола , і в цьому випадку можемо обчислити інтегал Ґаусса:

Підставляючи (46) в (44) знаходимо остаточну формулу для площі -вимірної гіперсфери одиничного радіуса:

де - розмірність евклідового простору, в який вміщена гіперсфера.

Об'єм -вимірної кулі[ред.ред. код]

Для обчислення об'єму кулі радіуса , розібємо кулю концентричними гіперсферами радіуса і площею на прошарки товщиною , тоді:

Див. також[ред.ред. код]