Гіпотеза Пуанкаре

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Проблеми тисячоліття
Рівність класів P і NP
Гіпотеза Ходжа
Гіпотеза Пуанкаре*
Гіпотеза Рімана
Квантова теорія Янга — Мілса
Рівняння Нав'є-Стокса
Гіпотеза Берча і Свіннертона-Даєра
* доведені

Гіпотеза Пуанкаре вважається найвідомішою задачею топології.

У вкрай спрощеному вигляді задача зводиться до того, що будь-яка тривимірна поверхня, на якій будь-яку замкнену петлю можна «стягти» у точку на цій поверхні, еквівалентна сфері. Так, наприклад, якщо подумки уявити кільце з нитки, що лежить на поверхні м'яча, і почати зменшувати радіус цього кільця за принципом ласо, то точка, у якій стягнеться нитка, все одно залишиться лежати на поверхні м'яча. Але якщо те ж саме зробити з бубликом, то точка зрештою «провалиться» у дірку. А коли обкрутити кільце навколо дужки бублика, то стягти його в точку, не порушуючи цілісності бублика, взагалі не вдасться. У таких випадках кажуть, що поверхня м'яча однозв'язна, а бублика — двозв'язна.

А формально: будь-який тривимірний компактний однозв'язний многовид є гомеоморфним тривимірній сфері.

Анрі Пуанкаре сформулював цю гіпотезу в 1904 році, і став засновником топології.

До 60-х років XX століття топологія стала однією з найпродуктивніших галузей математики, і топологи постійно кидали виклик гіпотезі Пуанкаре. Навколо гіпотези сформувалася ціла галузь математики. За минулі роки вчені здобували різноманітні нагороди математичної спільноти, зокрема й медалі Філдса, не за остаточне розв'язання, а лише за «значні просування» в цій проблемі. Річ у тім, що многовиди чотирьох, п'яти і більше вимірів набагато легше піддавалися вивченню, аніж ті, що мають усього три розмірності. На 1982 рік гіпотезу було доведено для всіх випадків, окрім тривимірного. (У разі, коли розмірність многовиду більша від трьох, аналоги гіпотези Пуанкаре були доведені в роботах Смейла і Фрідмана.) Як зізнавався на конгресі Джон Морган, глава математичного факультету Колумбійського університету (США), усе його життя проходило під знаком задачі Пуанкаре, але він і гадки не мав, що йому доведеться побачити її повне розв'язання — здавалося, що це не під силу нікому. Найближче підійшов до розв'язання американський математик Річард Гамільтон, який протягом 25 років розробляв так звану теорію потоків Річчі, що лягла в основу доведення Перельмана.

Проблема Пуанкаре і Григорій Перельман[ред.ред. код]

Григорій Перельман довів гіпотезу Пуанкаре, але відмовився від медалі Філдса за це досягнення. Відмова Перельмана від аналога Нобелівської премії шокувала математичну спільноту і стала світовою сенсацією, оскільки за всі 70 років було вручено лише 44 медалі Філдса, і ніхто ніколи від неї не відмовлявся.

Довівши гіпотезу Пуанкаре, Перельман не відіслав свою роботу до математичного журналу, як це роблять зазвичай, де експерти дають висновок — чи є доведення повним, коректним і оригінальним, і тільки потім стаття друкується. Без жодної експертизи Перельман розмістив своє доведення в Інтернеті на сайті архіву попередніх робіт Лос-Аламоської наукової лабораторії (www.arxiv.org). Цей сайт використовується математиками для публікації препринтів — матеріалів, що очікують на публікацію в спеціалізованих виданнях. Один препринт під назвою «Формула ентропії для потоків Річчі та її геометричні застосування» було викладено ним у вересні 2002 року, а ще через кілька місяців, 2003 року, — ще два препринти.

Потім учений розіслав текст доведення десяти спеціалістам із США, котрі теж працювали над гіпотезою, зокрема Гамільтону і двом математикам китайського походження — Тяну і Яу, зі зверненням — «Дозвольте представити на ваш розсуд мою статтю». Якби в доведенні було виявлено помилки, йому загрожувала б публічна ганьба, до того ж, за існуючими правилами, ніщо не завадило б іншому математику виправити виявлені недоліки й оголосити про свій пріоритет.

Саме доведення Перельмана теж мало незвичний вигляд. Воно було дуже коротким, конспективним, із масою скорочень. Логічні ланцюжки, які могли б бути розгорнуті в багатосторінкові пояснення, гранично стиснені. Повного доведення в усіх деталях, зокрема у надзвичайно важливих місцях розв'язання, він не надав, через що навіть фахівці не могли відразу зрозуміти й оцінити роботу. Зате його статті містили масу надзвичайно цікавих результатів поза основною темою.

Через складність доведення і конспективність викладу робота Григорія була вразлива й дала привід іншим математикам активно претендувати на авторство.

Так, відомий учений Шін-Тун Яу, професор математики в Гарварді і директор математичних інститутів у Пекіні та Гонконгу, віддавав Перельману лише 25% успіху в розв'язанні гіпотези Пуанкаре, решту він розподілив між Річардом Гамільтоном і своїми двома учнями — Сі-Пінь Чжу і Хуай-Донг Као. Він заявив, що в роботі Перельмана, безсумнівно, блискучій, багато ключових аспектів доведення подані схематично, деякі лише позначені, а деякі просто відсутні. І що його учні опублікували самостійне доведення цієї гіпотези, спираючись на роботи Перельмана точно так само, як той спирався на роботи Гамільтона.

Багато математиків сприймають поведінку Яу у ситуації з гіпотезою Пуанкаре як порушення етики. Відіграє роль і той факт, що мало фахівців мають достатній рівень знань і кваліфікацію, аби зуміти оцінити і захистити авторство Перельмана. Навіть Гамільтон казав, що доведення «важко зрозуміти», і деякі місця радше схожі на «начерк» (хоча й додав, що він із «величезним захопленням» ставиться до роботи Перельмана).

Три провідні математики світу — Тян, Лотт і Кляйнер — чотири роки проводили скрупульозний процес пояснення доведення, крок за кроком перевіряючи його логіку, і винесли вердикт: проблему Пуанкаре вирішено завдяки Перельману і його докази коректні. Робота Чжу і Као деталізує Перельмана, але не містить принципової новизни. Звісно, користуючись висловлюванням Ньютона, Перельман «стояв на плечах гігантів», зокрема Гамільтона, але він, безсумнівно, бачив набагато далі, ніж решта.

Нещодавно Тян разом із іншим американським математиком Морганом підготував монографію, де було заповнено всі дірки в конспективному доведенні Перельмана. Вона мала послужити посібником для інших математиків, які намагаються зрозуміти логіку доведення гіпотези. Показово, що коли три препринти Григорія зайняли усього близько 60 сторінок, то праця Тяна і Моргана з їхнього роз'яснення «важила» вже 473 сторінки. (До речі, на вивчення доведення Перельмана Національний фонд науки США виділив спеціалістам близько мільйона доларів у вигляді грантів).

Джерела[ред.ред. код]

Дивись також[ред.ред. код]