Гіпотеза Рімана

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Проблеми тисячоліття
Рівність класів P і NP
Гіпотеза Ходжа
Гіпотеза Пуанкаре*
Гіпотеза Рімана
Квантова теорія Янга — Мілса
Рівняння Нав'є-Стокса
Гіпотеза Берча і Свіннертона-Даєра
* доведені

Гіпотеза Рі́мана про розподіл нулів дзета-функції Рімана була сформульована Бернхардом Ріманом 1859 року.

Гіпотеза стверджує, що:

« Дійсна частина всіх нетривіальних нулів дзета-функції \zeta(s) дорівнює {1\over2}  »

Функція \zeta(s) визначена для всіх комплексних s\ne 1, і має нулі для від'ємних цілих s=-2,-4,-6\dots. Із функціонального рівняння \zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin{\pi s \over 2} \Gamma(1-s) \zeta(1-s), і явного виразу \frac1{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\mu(n)}{n^s} при \operatorname{Re}\,s>1 випливає, що всі інші нулі, які називаються «нетривіальними», розташовані у смузі 0\leqslant\operatorname{Re}\,s\leqslant1 симетрично щодо так званої «критичної лінії» {1\over2}+i t,\; t\in\mathbb{R}.

Гіпотеза Рімана входить до списку семи «проблем тисячоліття». За доведення цієї гіпотези Математичний інститут Клея (Clay Mathematics Institute, Кембридж, Массачусетс) обійцяв виплатити приз в 1 млн. доларів США. Цікаво, що спростування гіпотези (тобто обчислення нетривіального нуля поза «критичною лінією») не дає права отримання призу.

Історія[ред.ред. код]

1896 року Адамар і Вале-Пуссен незалежно довели, що нулі дзета-функції не можуть лежати на прямих \operatorname{Re}\,s=0 і \operatorname{Re}\,s=1.

1900 року Давид Гільберт включив гіпотезу Рімана до списку 23 нерозв'язаних проблем як частину восьмої проблеми, спільно з гіпотезою Гольдбаха.

1914 року Гарді (Харді) Ґодфрі Гарольд довів, що на критичній линії знаходиться нескінченно багато нулів, а пізніше Харді і Літлвуд дали оцінку знизу частки нулів, що лежать на критичній лінії, яку потім покращували різні математики.

Деякі нетривіальні нулі розташовуються екстремально близько один до одного. Ця властивість відома як «Лемерове явище» (Деррік Лемер англ. Lehmer).

Титчмарш, Ворос 1987 року довели, що дзета-функція може бути розкладена у добуток через свої нетривіальні нулі (розклад Адамара).

2004 року група математиків університету Пардьє (Purdue University, USA) під керівництвом Луі де Бранжа (Louis De Branges de Bourcia) запропонувала доведення гіпотези Рімана [1], яке, однак, виявилося помилковим [2].

Еквівалентні формулювання[ред.ред. код]

1901 року Хельге фон Кох показав, що гіпотеза Рімана еквівалентна наступному твердженню про розподіл простих чисел:

\pi(x) = \int\limits_2^x\!\frac{dt}{\ln t} + O\left(\sqrt x\ln x\right) якщо x\rightarrow\infty

Цікаві факти[ред.ред. код]

Знаменита відповідь Гільберта на питання про те, що б він зробив, якби він з якої-небудь причини заснув на п'ятсот років і раптом прокинувся. Математик відповів, що в першу чергу він запитає, чи була доведена гіпотеза Рімана.

Примітки[ред.ред. код]