Двійкова система числення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Двійкова
система
Шістнадцяткова
система
Десяткова
система
00000 00 00
00001 01 01
00010 02 02
00011 03 03
00100 04 04
00101 05 05
00110 06 06
00111 07 07
01000 08 08
01001 09 09
01010 0A 10
01011 0B 11
01100 0C 12
01101 0D 13
01110 0E 14
01111 0F 15
10000 10 16
10001 11 17
10010 12 18
10011 13 19
10100 14 20
10101 15 21
10110 16 22
10111 17 23
11000 18 24
11001 19 25
11010 1A 26
11011 1B 27
11100 1C 28
11101 1D 29
11110 1E 30
11111 1F 31

Двійкова система числення — це позиційна система числення, база якої дорівнює двом та використовує для запису чисел тільки два символи: зазвичай 0 (нуль) та 1 (одиницю). Числа, представлені в цій системі часто називають двійковими або бінарними числами.

Завдяки тому, що таку систему доволі просто використовувати в електричних схемах, двійкова система отримала широке розповсюдження у світі обчислювальних пристроїв.

Представлення[ред.ред. код]

Двійкове число можна представити як послідовність будь-яких об'єктів, які можуть знаходитися в одному з двох можливих станів. Наприклад: Числа, що можуть приймати значення 0 або 1: 1 0 1 0 0 1 1

Позиції, на яких можуть стояти хрестики або нулики: х о х о о х х

Вузли електричної схеми, які може бути, а може не бути зіструмлено

Ділянки магнітної смужки, які може бути, а може не бути намагнічено

Тощо.

Зазвичай, для позначення двійкових чисел використовують нулі та одиниці. Перші персональні комп'ютери для відображення чисел мали ряд електричних лампочок (кожна з яких, зрозуміло, може або світитися, або бути вимкненою).

Лічба у двійковій системі[ред.ред. код]

Рахувати у двійковій системі не складніше, ніж у будь-якій іншій. Скажімо, у десятковій системі, коли число у поточному розряді сягає десяти, то розряд обнуляється і одиниця додається до старшого. Наприклад: 9+1=10, 44+7=51; Аналогічним чином у двійковій системі: коли число в розряді сягає двох — розряд обнуляється і одиниця додається до старшого розряду. Тобто: 1+1=10. Зверніть увагу, «10» у цьому записі — двійкове число, у десятковій системі це число записується як «2». А десяткове 9+1=10 у двійковій системі буде виглядати так: 1001+1=1010 (після додавання одиниці число в останньому розряді дорівнює двом, тож розряд обнуляється і одиниця додається до передостаннього(старшого) розряду).


Конвертування десяткових чисел у двійкові і навпаки[ред.ред. код]

У системі з основою q число подається у вигляді (1).

        C=b_0 \times q^0+b_1 \times q^1+b_2 \times q^2+\dots + b_{N-1} \times q^{N-1}  \,\!       (1)

Підставивши у (1) q=2, одержимо двійкову систему, де число можна записати у вигляді (2).

        C=b_0+b_1 \times 2+b_2 \times 2^2+ \dots +b_{N-1} \times 2^{N-1} \,\!         (2)

Де \, \{ b_i \} — множина цифр числа.

Згідно з виразом (2) запишемо алгоритм розкладу числа С за двійковою системою, який нескладно узагальнити для інших q (мова програмування: Pascal).

                Q:=C;             { Число }
For i:=0 to N-1 do
begin
b[i]:= Q mod 2; { Остача від ділення на 2 }
Q:= Q div 2; { Цілочисельна частка від ділення на 2 }
end;

Використання[ред.ред. код]

У цифрових пристроях[ред.ред. код]

Двійкова система використовується в цифрових пристроях, оскільки є найбільш простою і відповідає вимогам:

  • Чим менше значень існує в системі, тим простіше виготовити окремі елементи, які оперують цими значеннями. Зокрема, дві цифри двійкової системи числення можуть бути легко представлені багатьма фізичними явищами: наявний струм (струм більше порогової величини) — відсутній струм (струм менше порогової величини), індукція магнітного поля більше порогової величини чи ні (індукція магнітного поля менше порогової величини) і т. д.
  • Чим менша кількість станів у елемента, тим вища надійність і тим швидше пристрій може працювати. Наприклад, щоб закодувати три стани через величину напруги, струму або індукції магнітного поля, потрібно ввести два граничних значення і два компаратора, що не сприятиме завадостійкості та надійності зберігання інформації[джерело не вказано 1751 день]
  • Двійкова арифметика є досить простою. Простими є таблиці додавання і множення — основних дій над числами.

У цифровій електроніці одному двійковому розряду в двійковій системі числення відповідає (очевидно) один двійковий розряд двійкового регістра, тобто двійковий тригер з двома станами (0, 1).

У обчислювальній техніці широко використовується запис від'ємних двійкових чисел в доповняльному коді. Наприклад, число −510 може бути записано як −1012 але в 32-бітному комп'ютері буде зберігатися як 111111111111111111111111111110112.

В англійській системі числення[ред.ред. код]

При вказівці лінійних розмірів в дюймах за традицією використовують двійкові дроби, а не десяткові, наприклад: 5¾″, 715/16″, 311/32″ і т. д.

Узагальнення[ред.ред. код]

Двійкова система числення є комбінацією двійкової системи кодування і показовою ваговою функцією з основою рівною 2. Слід зазначити, що число може бути записано в двійковому коді, а система числення при цьому може бути не двійковою, а з іншою основою. Приклад: двійково-десяткове кодування, в якому десяткові цифри записуються в двійковому вигляді, а система числення — десяткова.

Історія[ред.ред. код]

  • В 1937 Клод Шеннон представив до захисту кандидатську дисертацію Символічний аналіз релейних і перемикальних схем в MIT, в якій булева алгебра і двійкова арифметика були використані стосовно до електронних реле і перемикачів. На дисертації Шеннона по суті заснована вся сучасна цифрова техніка.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Sanchez, Julio; Canton, Maria P. (2007). Microcontroller programming: the microchip PIC. Boca Raton, Florida: CRC Press. с. 37. ISBN 0-8493-7189-9. 
  2. W. S. Anglin and J. Lambek, The Heritage of Thales, Springer, 1995, ISBN 0-387-94544-X
  3. Ordish George, Hyams, Edward The last of the Incas: the rise and fall of an American empire. — Нью-Йорк : Барнс & Noble, 1996. — С. 80.
  4. Experts 'decipher' Inca strings. Архів оригіналу за 2011-08-18. 

Див. також[ред.ред. код]


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.