Двійкова система числення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Двійкова
система
Шістнадцяткова
система
Десяткова
система
00000 00 00
00001 01 01
00010 02 02
00011 03 03
00100 04 04
00101 05 05
00110 06 06
00111 07 07
01000 08 08
01001 09 09
01010 0A 10
01011 0B 11
01100 0C 12
01101 0D 13
01110 0E 14
01111 0F 15
10000 10 16
10001 11 17
10010 12 18
10011 13 19
10100 14 20
10101 15 21
10110 16 22
10111 17 23
11000 18 24
11001 19 25
11010 1A 26
11011 1B 27
11100 1C 28
11101 1D 29
11110 1E 30
11111 1F 31

Двійкова система числення — це позиційна система числення, база якої дорівнює двом та використовує для запису чисел тільки два символи: зазвичай 0 (нуль) та 1 (одиницю). Числа, представлені в цій системі часто називають двійковими або бінарними числами.

Завдяки тому, що таку систему доволі просто використовувати в електричних схемах, двійкова система отримала широке розповсюдження у світі обчислювальних пристроїв.

Представлення[ред.ред. код]

Двійкове число можна представити як послідовність будь-яких об'єктів, які можуть знаходитися в одному з двох можливих станів. Наприклад: Числа, що можуть приймати значення 0 або 1: 1 0 1 0 0 1 1

Позиції, на яких можуть стояти хрестики або нулики: х о х о о х х

Вузли електричної схеми, які може бути, а може не бути зіструмлено

Ділянки магнітної смужки, які може бути, а може не бути намагнічено

Тощо.

Зазвичай, для позначення двійкових чисел використовують нулі та одиниці. Перші персональні комп'ютери для відображення чисел мали ряд електричних лампочок (кожна з яких, зрозуміло, може або світитися, або бути вимкненою).

Лічба у двійковій системі[ред.ред. код]

Рахувати у двійковій системі не складніше, ніж у будь-якій іншій. Скажімо, у десятковій системі, коли число у поточному розряді сягає десяти, то розряд обнуляється і одиниця додається до старшого. Наприклад: 9+1=10, 44+7=51; Аналогічним чином у двійковій системі: коли число в розряді сягає двох — розряд обнуляється і одиниця додається до старшого розряду. Тобто: 1+1=10. Зверніть увагу, «10» у цьому записі — двійкове число, у десятковій системі це число записується як «2». А десяткове 9+1=10 у двійковій системі буде виглядати так: 1001+1=1010 (після додавання одиниці число в останньому розряді дорівнює двом, тож розряд обнуляється і одиниця додається до передостаннього(старшого) розряду).

Таблиця додавання[ред.ред. код]

+ 0 1
0 0 1
1 1 10 (перенесення у старший розряд)

Пиклад додавання "стовпчиком" (1410 + 510 = 1910 або 11102 + 1012 = 100112):

+ 1 1 1 0
1 0 1
1 0 0 1 1

Таблиця віднімання[ред.ред. код]

- 0 1
0 0 1
1 (позика зі старшого розряду) 0

Таблиця множення[ред.ред. код]

× 0 1
0 0 0
1 0 1

Приклад множення "стовпчиком" (1410 * 510 = 7010 або 11102 * 1012 = 10001102):

× 1 1 1 0
1 0 1
+ 1 1 1 0
1 1 1 0
1 0 0 0 1 1 0

Конвертування десяткових чисел у двійкові і навпаки[ред.ред. код]

Для перетворення з двійкової системи в десяткову використовують таку таблицю ступенів основи 2:

1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

Починаючи з цифри 1 всі цифри множаться на два. Точка, яка стоїть після 1, називається двійковою крапкою.

Конвертування двійкових чисел у десяткові[ред.ред. код]

Припустимо, дано двійкове число 1100012. Для конертування в десяткове запишіть його як суму за розрядами таким чином:

1 * 25 + 1 * 24 + 0 * 23 + 0 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 = 49

Теж саме але трохи по-іншому:

1 * 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 49

Можна записати у вигляді таблиці таким чином:

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 0 0 0 1
+32 +16 +0 +0 +0 +1

Пересувайтесь справа наліво. Під кожною двійковою одиницею напишіть її еквівалент у рядку нижче. Складіть отримані десяткові числа. Таким чином, двійкове число 1100012 рівнозначно десятичному 4910.

Конвертування дрібних двійкових чисел у десяткові[ред.ред. код]

Необхідно перевести число 1011010,1012 у десяткову систему. Запишемо число таким чином:

1*26 + 0*25 + 1*24 + 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 + 1*2-1 + 0*2-2 + 1*2-3 = 90,625

Теж саме але трохи по-іншому:

1 * 64 + 0 * 32 + 1 * 16 + 1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 0 * 1 + 1 * 0,5 + 0 * 0,25 + 1 * 0,125 = 90,625

Або за допомогою таблиці:

64 32 16 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125
1 0 1 1 0 1 0 , 1 0 1
+64 +0 +16 +8 +0 +2 +0 +0.5 +0 +0.125

Перетворення методом Горнера[ред.ред. код]

Для того, щоб перетворювати числа з двійкової в десяткову систему даним методом, треба підсумувати цифри зліва направо, множачи раніше отриманий результат на основу системи (в даному випадку 2). Методом Горнера зазвичай перекладають з двійкової в десяткову систему. Зворотна операція складна так як вимагає навичок додавання і множення в двійковій системі числення. Наприклад, двійкове число 10110112 переводиться в десяткову систему так:

0*2 + 1 = 1

1*2 + 0 = 2

2*2 + 1 = 5

5*2 + 1 = 11

11*2 + 0 = 22

22*2 + 1 = 45

45*2 + 1 = 91

Тобто в десятковій це число буде записано як 91.

Перетворнення дробової частини методом Горнера[ред.ред. код]

Припустимо, нам потрібно перекласти число 19 у двійкове. Ви можете скористатися такою процедурою:

19 /2 = 9 з залишком 1

9 /2 = 4 з залишком 1

4 /2 = 2 без залишку 0

2 /2 = 1 без залишку 0

1 /2 = 0 з залишком 1

Отже, ми ділимо кожне частне на 2 і записуємо залишок на кінець двійкового запису. Продовжуємо поділ до тих пір, поки в частному не буде 0. Результат записуємо справа наліво. Тобто нижня цифра (1) буде самою лівою і т. д. В результаті отримуємо число 19 в двійковій запису: 10011.

Перетворення дробових десяткових чисел на двійкові[ред.ред. код]

Якщо у вихідному числі є ціла частина, то вона перетвориться окремо від дробової. Переклад дробового числа з десяткової системи числення в двійкову здійснюється за таким алгоритмом:

  • Дріб множиться на основу двійкової системи числення (2);
  • В отриманому добутку виділяється ціла частина, яка приймається як старший розряд числа в двійковій системі числення;
  • Алгоритм завершується, якщо дробова частина отриманого добутку дорівнює нулю або якщо досягнута необхідна точність обчислень. В іншому випадку обчислення тривають над дробовою частиною добутку.

Приклад: Потрібно перевести десяткове дробове число 206,116 в дробове двійкове число.

Переведення цілої частини дає 20610=110011102 за раніше описаним алгоритмом. Дробову частину 0,116 множимо на основу 2, заносячи цілі частини твору у розряди після коми шуканого дробового двійкового числа:

0,116 • 2 = 0,232

0,232 • 2 = 0,464

0,464 • 2 = 0,928

0,928 • 2 = 1,856

0,856 • 2 = 1,712

0,712 • 2 = 1,424

0,424 • 2 = 0,848

0,848 • 2 = 1,696

0,696 • 2 = 1,392

0,392 • 2 = 0,784

и т. д.

Таким чином 0,11610 ≈ 0,00011101102

Отримаємо: 206,11610 ≈ 11001110,00011101102

Використання[ред.ред. код]

У цифрових пристроях[ред.ред. код]

Двійкова система використовується в цифрових пристроях, оскільки є найбільш простою і відповідає вимогам:

  • Чим менше значень існує в системі, тим простіше виготовити окремі елементи, які оперують цими значеннями. Зокрема, дві цифри двійкової системи числення можуть бути легко представлені багатьма фізичними явищами: наявний струм (струм більше порогової величини) — відсутній струм (струм менше порогової величини), індукція магнітного поля більше порогової величини чи ні (індукція магнітного поля менше порогової величини) і т. д.
  • Чим менша кількість станів у елемента, тим вища надійність і тим швидше пристрій може працювати. Наприклад, щоб закодувати три стани через величину напруги, струму або індукції магнітного поля, потрібно ввести два граничних значення і два компаратора, що не сприятиме завадостійкості та надійності зберігання інформації [джерело не вказане 2022 дні]
  • Двійкова арифметика є досить простою. Простими є таблиці додавання і множення — основних дій над числами.

У цифровій електроніці одному двійковому розряду в двійковій системі числення відповідає (очевидно) один двійковий розряд двійкового регістра, тобто двійковий тригер з двома станами (0, 1).

У обчислювальній техніці широко використовується запис від'ємних двійкових чисел в доповняльному коді. Наприклад, число −510 може бути записано як −1012 але в 32-бітному комп'ютері буде зберігатися як 111111111111111111111111111110112.

В англійській системі числення[ред.ред. код]

При вказівці лінійних розмірів в дюймах за традицією використовують двійкові дроби, а не десяткові, наприклад: 5¾″, 715/16″, 311/32″ і т. д.

Узагальнення[ред.ред. код]

Двійкова система числення є комбінацією двійкової системи кодування і показовою ваговою функцією з основою рівною 2. Слід зазначити, що число може бути записано в двійковому коді, а система числення при цьому може бути не двійковою, а з іншою основою. Приклад: двійково-десяткове кодування, в якому десяткові цифри записуються в двійковому вигляді, а система числення — десяткова.

Історія[ред.ред. код]

  • В 1937 Клод Шеннон представив до захисту кандидатську дисертацію Символічний аналіз релейних і перемикальних схем в MIT, в якій булева алгебра і двійкова арифметика були використані стосовно до електронних реле і перемикачів. На дисертації Шеннона по суті заснована вся сучасна цифрова техніка.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Sanchez, Julio; Canton, Maria P. (2007). Microcontroller programming: the microchip PIC. Boca Raton, Florida: CRC Press. с. 37. ISBN 0-8493-7189-9. 
  2. W. S. Anglin and J. Lambek, The Heritage of Thales, Springer, 1995, ISBN 0-387-94544-X
  3. Ordish George, Hyams, Edward The last of the Incas: the rise and fall of an American empire. — Нью-Йорк : Барнс & Noble, 1996. — С. 80.
  4. Experts 'decipher' Inca strings. Архів оригіналу за 2011-08-18. 

Див. також[ред.ред. код]


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.