Десятковий логарифм

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Графік десяткового логарифма

Десятковий логарифм — логарифм з основою 10. Іншими словами, десятковий логарифм числа є розв'язком рівняння

Десятковий логарифм числа існує, якщо Прийнято (специфікація ISO 31-11) позначати його . Приклади:

У зарубіжній літературі, а також на клавіатурі калькуляторів зустрічаються й інші позначення десяткового логарифма:, причому слід мати на увазі, що перші 2 варіанти можуть відноситися і до натурального логарифма.

Алгебраїчні властивості[ред. | ред. код]

У нижченаведеній таблиці передбачається, що всі значення позитивні [1]:

Формула Приклад
Добуток
Частка від ділення
Степінь
Корінь

Існує очевидне узагальнення наведених формул на випадок, коли допускаються негативні змінні, наприклад:

Формула для логарифма добутку легко узагальнюється на довільну кількість співмножників:

Вищеописані властивості пояснюють, чому застосування логарифмів (до винаходу калькуляторів) істотно полегшувало обчислення. Наприклад, множення багатозначних чисел за допомогою логарифмічних таблиць [⇨] вироблялося за наступним алгоритмом:

  1. Знайти в таблицях логарифми чисел .
  2. Скласти ці логарифми, отримуючи (відповідно до першої властивості) логарифм добутку .
  3. За логарифмом добутку знайти в таблицях сам добуток.

Ділення, яке без допомоги логарифмів набагато трудомісткіше, ніж множення, виконувалося за тим же алгоритмом, лише із заміною складання логарифмів — відніманням. Аналогічно здійснювалися піднесення до степеня і знаходження кореня.

Зв'язок десяткового і натурального логарифмів [2]:


Знак логарифма залежить від логарифмуємого числа: якщо воно більше 1, логарифм позитивний, якщо воно між 0 і 1, то від'ємний. Приклад:

Щоб уніфікувати дії з позитивними і негативними логарифмами, в останніх ціла частина (характеристика) надкреслюється зверху:

Мантиса логарифма, обрана з таблиць, при такому підході завжди позитивна.

Функція десяткового логарифма[ред. | ред. код]

Якщо розглядати логарифмуєме число як змінну, ми отримаємо функцію десяткового логарифма: . Вона визначена при всіх Область значень: . Графік цієї кривої часто називається логарифмікою[3].

Функція монотонно зростає, неперервна і диференційована усюди, де вона визначена. Похідна для неї знаходиться за формулою:

Вісь ординат є лівою вертикальною асимптотою, оскільки:

Застосування[ред. | ред. код]

Логарифми за основою 10 до винаходу в 1970-і роки компактних електронних калькуляторів широко застосовувалися для обчислень. Як і будь-які інші логарифми, вони дозволяли багаторазово спростити і полегшити трудомісткі розрахунки, замінюючи множення на додавання, а ділення на віднімання; аналогічно спрощувались піднесення до степеня і знаходження кореня. Але десяткові логарифми мали перевагу перед логарифмами за іншою основою: цілу частину логарифма числа (характеристику логарифма) легко визначити.

  • Якщо то на 1 менше числа цифр в цілій частині числа . Наприклад, відразу очевидно, що lg 345 знаходиться в проміжку (2, 3).
  • Якщо то найближче до ціле (в меншу сторону) дорівнює загальній кількості нулів в перед першою ненульовий цифрою, взятому зі знаком мінус. Наприклад, lg 0,0014 знаходиться в інтервалі (-3, -2).

Крім того, при перенесенні десяткової коми в числі на розрядів значення десяткового логарифма цього числа змінюється на Наприклад:

Звідси випливає, що досить скласти таблицю мантис (дробових частин) десяткових логарифмів для чисел в діапазоні від 1 до 10. Такі таблиці, починаючи з XVII століття, випускалися великим тиражем і служили незамінним розрахунковим інструментом вчених та інженерів.

Оскільки застосування логарифмів для розрахунків з появою обчислювальної техніки майже припинилося, в наші дні десятковий логарифм в значній мірі витіснений натуральним [4]. Він зберігається в основному в тих математичних моделях, де історично вкоренився — наприклад, при побудові логарифмічних шкал.

Десяткові логарифми для чисел виду 5 × 10n
Число логарифм характеристика мантиса запис
n lg(n) C = floor(lg(n)) M = (lg(n) − характеристика)
5 000 000 6.698 970… 6 0.698 970… 6.698 970…
50 1.698 970… 1 0.698 970… 1.698 970…
5 0.698 970… 0 0.698 970… 0.698 970…
0.5 −0.301 029… −1 0.698 970… 1.698 970…
0.000 005 −5.301 029… −6 0.698 970… 6.698 970…

Зверніть увагу, що у всіх наведених у таблиці чисел одна і та ж мантиса.

Десяткова логарифмічна шкала на логарифмічній лінійці

Історія[ред. | ред. код]

Перші таблиці десяткових логарифмів опублікував в 1617 році оксфордський професор математики Генрі Брігс для чисел від 1 до 1000, з вісьмома (пізніше — з чотирнадцятьма) знаками. Тому за кордоном десяткові логарифми часто називають брігсовимі. Але в цих і в наступних виданнях таблиць виявилися помилки. Перше безпомилкове видання на основі таблиць Георга Веги (1783) з'явилося тільки в 1857 в Берліні (таблиці Бремікера, Carl Bremiker) [5].

У Росії перші таблиці логарифмів були видані в 1703 році за участю Л. П. Магницького[6]. У СРСР випускалися кілька збірок таблиць логарифмів[7]:

  1. Брадис В. М. Чотиризначні математичні таблиці. М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Таблиці Брадиса, що видаються з 1921 року, використовувалися в навчальних закладах та в інженерних розрахунках, що не вимагають великої точності. Вони містили мантиси десяткових логарифмів чисел і тригонометричних функцій, натуральні логарифми і деякі інші корисні розрахункові інструменти.
  2. Вега Г. Таблиці семизначних логарифмів, 4-е видання, М.: Надра, 1971. Професійний збірник для точних обчислень.

Примітки[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]

  • Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — изд. 25-е. — М.: Наука, 1978. — ISBN 5-17-009554-6.
  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.