Деформація згину

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Схематичне зображення деформації згину навантаженої балки

Деформа́ція зги́ну або згин — тип деформації бруса (балки), що полягає у викривленні осі прямого бруса чи зміні кривини осі кривого бруса в результаті виникнення згинальних моментів у його перерізах від прикладених навантажень (поперечних сил і/або згинальних моментів у площині, що проходить через вісь бруса).

Локальна деформація різних частин тіла при згинанні різна. Наприклад, у випадку, зображеному на рисунку, верхня частина балки стискається, а нижня — розтягується.

Основні поняття[ред.ред. код]

Переміщення будь-якої точки осі балки, котра працює на згин, виражається вектором, початок якого суміщено з початковим положенням точки, а кінець — з положенням цієї самої точки у деформованій балці. У прямих балках переміщення точок які спрямовані перпендикулярно до початкового положення осі, називають прогинами і позначається . При згинанні відбувається також поворот перерізів стержня навколо осей, що лежать у площинах перерізів і позначається .

Умовна назва кривої лінії, що її форми набуває вісь балки (бруса) при згині у межах пружної деформації носить назву пружна лінія.

Види згину[ред.ред. код]

Стосовно до бруса розрізняють згин плоский, або простий, та складний. При плоскому (простому) згині зовнішні сили діють в одній з головних площин бруса (вони проходять через вісь бруса і головні осі інерції поперечного перерізу, див. Моменти інерції плоских перерізів), при складному згині — в різних площинах. Різновидом складного є косий згин, коли навантаження діють у площині, що не збігається з будь-якою з головних площин.

Залежно від сил, що діють у поперечному перерізі бруса, згин буває чистим (при наявності лише згинальних моментів), поперечним (діють поперечні сили), поздовжнім (випинання під впливом стискувальних сил, спрямованих вздовж осі) і поперечно-поздовжнім.

Розрахунки при згині[ред.ред. код]

Елемент балки, вирізаний двома суміжними поперечними перерізами, у здеформованому стані

Класична теорія[ред.ред. код]

Наближений розрахунок прямого бруса на дію згину у пружній стадії на основі класичної теорії (теорії Ейлера-Бернуллі) проводиться виходячи з наступних допущень:

  • поперечні перерізи, що були плоскими і перпендикулярними до осі балки до деформації, залишаються плоскими і перпендикулярними до її зігнутої осі (пружної лінії) після деформування (гіпотеза плоских перерізів);
  • поздовжні волокна бруса при згині не тиснуть одне на одного і не намагаються відірватись одне від одного;
  • переміщення і деформації вважаються малими а балка — нерозтяжною;
  • розміри перерізів балки вважаються малими у порівняння з радіусом кривини осі балки;
  • матеріал балки розглядається як лінійно пружний, що описується законом Гука

При плоскому згині в будь-якій точці поперечного перерізу балки виникають нормальні (σ) і дотичні (τ) напруження. Нормальні напруження визначають за формулою:

де: Mz — згинальний момент;

y — координата досліджуваної точки відносно нейтральної лінії;
Iz — момент інерції відносно нейтральної лінії.

Дотичні напруження визначають за формулою Д. І. Журавського:

де Qy — поперечна сила у перерізі;

Sz — статичний момент відносно нейтральної осі частини площі поперечного перерізу, що розташована вище (або нижче) волокна, що розглядається;
b — ширина перерізу на рівні волокна, що розглядається.

Характер зміни згинальних моментів і поперечних сил по довжині бруса зазвичай зображується графіками (епюрами), за якими визначаються їх розрахункові значення.

Ступінь викривлення осі у межах пружності залежить від величини згинального моменту і жорсткості бруса. Кривина осі визначається виразом:

де ρ — радіус кривини осі зігнутого бруса у розглянутому перерізі;

Е — модуль Юнга матеріалу бруса.

Для випадку малих деформацій кривина наближено виражається другою похідною від прогину , а тому між координатами зігнутої осі та згинальним моментом існує диференціальна залежність:

що називається диференціальним рівнянням осі зігнутого бруса. Його рішення називається рівнянням пружної лінії балки (бруса).

Теорія балок Тимошенка[ред.ред. код]

Дана теорія базується на тих же гіпотезах, що й класична, однак гіпотеза плоских перерізів має модифікований вид: приймається, що перерізи, які були до деформації плоскими і нормальними до осі балки, залишаються плоскими, але перестають бути нормальними до зігнутої осі. Таким чином, дана теорія враховує деформацію зсуву й дотичні напруження. Врахування дотичних напружень є важливим для композитів та матеріалів, що мають шарувату структуру (деревина), оскільки руйнування може відбуватись по лінії розмежування шарів від зсуву.

Основні залежності:

де  — модуль зсуву матеріалу балки,  — площа перерізу,  — коефіцієнт, що враховує нерівномірність розподілу дотичних напружень по перерізу і залежить від його форми. Величина

є кутом зсуву.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]


Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.