Диверсифікація ризиків за допомогою перестрахування

Перестрахування — страхування одним страховиком (цедентом, перестрахувальником) на визначених договором умовах ризику виконання всіх або частини своїх обов'язків перед страхувальником у іншого страховика (перестраховика). Перестрахування здійснюється перестрахувальником з метою захисту себе від втрат, які він може понести.

Диверсифікація ризиків дозволяє знизити рівень концентрації ризиків. Диверсифікація видів діяльності передбачає використання альтернативних можливостей отримання доходу і прибутку від різноманітних фінансових операцій.

Одним з основних принципів роботи страхової компанії є диверсифікація ризиків, яка передбачає те, що страховик не повинен включати у страховий портфель ризики лише одного виду, або здійснювати перестрахування ризиків лише в одній страховій компанії.

Припустимо, $W_{0}$ — загальний рівень ризику, взятого на страхування, який визначається: $W_{0}=x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+...+x_{l}p_{k}$, де $l$ — вид ризику; $x_{l}$ — кількість договорів перестрахування $l$-го виду; $p_{k}$, $k={1 \over l}$ — рівень ризику $k$-го виду.

Якщо поділити ліву та праву частини рівняння на $W_{0}$, отримаємо $1={x_{1}p_{1} \over W_{0}}+{x_{2}p_{2} \over W_{0}}+...+{x_{l}p_{k} \over W_{0}}$.

Позначимо частку договорів перестрахування $k$-го виду ${x_{l}p_{k} \over W_{0}}$ через $W_{k}$, $(k={1 \over l})$. Необхідно знайти $W_{k}$, $(k={1 \over l})$, яке мінімізує ризик портфелю ${\sigma }_{portf}^{2}$ страхової компанії при умові, що $\sum _{k=1}^{l}W_{k}=1$ та існує середнє значення дохідності $MR_{portf}$

Для визначення стохастичних процентних ставок звернемось до моделі Васічека, в якій короткострокова процентна ставка визначається рівнянням $dr(t)=a-br(t)dt+{\sigma }dW(t)$, де $[t,T]$ — інтервал часу; $r(t)=r$ — короткострокова процентна ставка; $a,a>0$ — довгострокове середнє значення спот-ставки; $b,b>0$ — параметр дрейфа (характеризує швидкість повернення процесу до довгострокового середнього значення); ${\sigma }$ — параметр дисперсії; $dW(t)$ — вектор прирощення $q$-мірного стандартного вінерівського процесу.

Вінерівський процес — приклад марківського процесу, тобто процесу значення якого в даний момент $t$ повністю визначає його майбутню поведінку незалежно від минулого.

Нехай рівень ризику описується моделлю виду $P(t,T)=exp\left\lbrace \alpha (t,T)-r(t)\beta (t,T)\right\rbrace ,t\in [t,T]$, де функції $\alpha (t,T),\beta (t,T)$ — стохастичні процентні ставки за договорами перестрахування, що задаються моделлю Васічека.

$\alpha (t,T),\beta (t,T)$ визначаються формулами:

$\alpha (t,T)=(b-{\frac {\sigma ^{2}}{2a^{2}}})(\beta (t,T)-(T-t))-{\frac {\sigma ^{2}\beta ^{2}(t,T)}{4a}}$

$\beta (t,T)={\frac {1}{b}}(1-e^{-b(T-t)})$

Середнє значення процентної ставки визначається формулою:

$Mr(t)=exp(-bt)[r(0)+{\frac {a}{b}}(exp(bt)-1)]$

Дисперсія визначається формулою:

$Dr(t)=exp(-2bt)c^{2}D(\int _{0}^{t}exp(bt)W(t))=exp(-2bt)c^{2}{\frac {1}{2b}}(r^{2bt}-1)$

Дохідність договору перестрахування визначається формулою $i(t)={\frac {g(t)N+P(t)-R_{0}}{P_{0}}}$, де $g(t)$ — норма річного доходу від перестрахування ризиків; $P_{0}$ — початковий рівень ризику, переданого у перестрахування; $N$ — страхова сума за переданим у перестрахування договором.

Після перетворень отримаємо дохідність договору перестрахування:

$i(t)={\frac {g(t)N}{P_{0}}}+{\frac {1}{P_{0}}}exp(\alpha -\beta r(t))-1,\forall t\in [0,T]$

Середня дохідність договору перестрахування буде дорівнювати:

$Mi={\frac {gN}{P_{0}}}+{\frac {e^{\alpha }}{P_{0}}}Me^{-{\beta }r(t)}-1={\frac {gN}{P_{0}}}+{\frac {e^{\alpha }}{P_{0}}}Me^{-{\beta }({\frac {r-Mr}{\sqrt {Dr}}}{\sqrt {Dr}}+Mr)}-1={\frac {gN}{P_{0}}}+{\frac {e^{\alpha -\beta Mr+{\frac {\beta ^{2}Dr}{2}}}}{P_{0}}}$

А середня дохідність портфеля буде дорівнювати $MR_{portf}=\sum _{j=1}^{l}W_{j}Mi_{j}$, де $i_{j}$ — дохідність договору перестрахування $j$-го виду, а очікуваний ризик:

$\sigma _{portf}^{2}=\sum _{k=1}^{l}\sum _{m=1}^{l}W_{k}W_{m}cov(i_{k};i_{m})$

Коваріація випадкових величин $i_{k},i_{m}$ розраховуються за формулою $cov(i_{k};i_{m})=M(i_{k};i_{m})-Mi_{k}Mi_{m}$

Задача вибору оптимальної структури портфеля, тобто вибору оптимального вектора $(W_{1}^{*};W_{2}^{*};...;W_{l}^{*})$ — зводиться до знаходження значень $W_{j}(j={\frac {1}{l}})$, що мінімізують ризик портфеля, якщо $\sum _{k=1}^{l}W_{k}=1$.

Розв'язання цієї задачі можна отримати методом множників Лагранжа. Перепишемо середню дохідність та ризик в матричній формі:

$\sigma _{portf}^{2}=W^{T}\cdot v\cdot W$

$MR_{portf}=m^{T}\cdot W$,

де $W$ — стовпчик невідомих часток $W_{j}(j={\frac {1}{l}}),v=cov(i_{k};i_{m})$ — матриця коваріацій; $m$ — стовпчик, що складається з $M(i_{j}),(j={\frac {1}{l}})$.

Функція Лагранжа має вигляд:

$L=W^{T}VW+\mu _{0}(I^{T}W-1)+\mu _{1}(m^{T}W-MR)$, де $I$ — одинична матриця-стовпчик.

Оптимальний набір часток $(W_{1}^{*};W_{2}^{*};...;W_{l}^{*})$ визначається за формулою:

$W^{*}=V^{-1}{\frac {R(I(I^{T}V^{-1}m)-m(I^{T}V^{-1}I))+m(I^{T}V^{-1}m)-I(m^{T}V^{-1}m)}{(I^{T}V^{-1}m)^{2}-(I^{T}V^{-1}I)(m^{T}V^{-1}m)}}$

Таким чином, страховику необхідно укладати $X_{k}={\frac {W_{k}^{*}W_{0}}{P_{k}}}$ договорів перестрахування $k$-го виду $(k={\frac {1}{l}})$.

Приклади задач з перестрахування ризику

Приклад 1

Розмір збитку не перевищує 50 гр. од. Власне утримання цедента — 10 гр. од. Решта ризику передана на квотне перестрахування, в якому цедент сплачує 20% збитку. Реальний збиток склав 30 гр. од. Скільки виплатить кожна сторона?

Розв'язок

Страховик виплатить: 10 + 20 * 0,2 = 14 гр. од.

Перестраховик виплатить: 20 * 0,8 = 16 гр. од.

Приклад 2

В договорі перестрахування на основі ексцедента збитковості передано два ризики. Ціна об'єктів — 30 і 50 гр. од. Договір передбачає виплату перестраховиком 20 гр. од. понад 5 гр. од. Збитки склали відповідно 5 і 15 гр. од. Визначити виплати сторін.

Розв'язок

Передано ризик від 6 до 25-ти гр. од. Реальний збиток — 20 гр. од. З них страховик виплатить 5 гр. од., а перестраховик — 15 гр. од.

Приклад 3

Страхова сума — 500 гр. од. Границя покриття страховиком — 200 гр. од. Страховий внесок — 20 гр. од. Як він розподілиться між цедентом і перестраховиком?

Розв'язок

Ризик ділиться в пропорції 200:300 = 2:3

Тому внески розподіляться відповідно: 20 * 2/5 = 8 і 20 * 3/5 = 12 (гр. од.)

Джерела

1. Закон України «Про страхування» [1] [Архівовано 12 жовтня 2018 у Wayback Machine.]

2. Козьменко О. В. Актуарні розрахунки: Навчальний посібник / О. В. Козьменко, О. В. Кузьменко. — Суми: Ділові перспективи, 2011. — 224с.

3. Кінаш О. М., Сороківський В. М., Папка М. В. Основи актуарних розрахунків. — Навчально-методологічний посібник. — Львів, — 2012.

Див. також

• Перестрахування
• Диверсифікація
• Функція Лагранжа
• Умови прибутковості страхової компанії
• Нейтральність до ризику страхової компанії
• Ровномірний розподіл втрат в страхуванні