Диз'юнктне об'єднання

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Неформально кажучи, диз'юнктне об'єднання — це змінена операція об'єднання множин у теорії множин, яка кожний елемент наділяє індексом множини, з якої цей елемент увійшов у об'єднання.

Приклад[ред.ред. код]

Диз'юнктне об'єднання множин = {1, 2, 3} і = {1, 2} обраховується з об'єднання множин:

Таким чином

Визначення[ред.ред. код]

Нехай — сімейство множин, перерахованих індексами з . Тоді диз'юнктним об'єднанням цього сімейства є множина

Елементи диз'юнктного объединання є впорядкованими парами . Таким чином є індекс, який показує, з якої множини елемент увійшов у об'єднання. Кожна з множин канонічно вкладена у диз'юнктне об'єднання як множина

При множини и не мають спільних елементів, навіть якщо . У виродженому випадку, коли множини рівні якійсь конкретній , диз'юнктне об'єднання є декартовим добутком множини та множини , тобто

Використання[ред.ред. код]

Іноді можна зустріти позначення для диз'юнктного об'єднання двох множин або наступне для сімейства множин:

Такий запис означає, що потужність диз'юнктного об'єднання рівна сумі потужностей множин сімейства. Для порівняння, декартовий добуток має потужність, рівну добутку потужностей.

У категорії множин диз'юнктним об'єднанням є пряма сума. Термін диз'юнктне об'єднання також використовується по відношенню об'єднання сімейства множин, які попарно не перетинаються. У цьому випадку диз'юнктне об'єднання позначається, як звичайне об'єднання множин, співпадаючи з ним. Таке позначення часто зустрічається в інформатиці. Більш формально, якщо — це сімейство множин, то

є диз'юнктним об'єднанням у розглянутому вище сенсі тоді і тільки тоді, коли за будь-яких та з виконується наступна умова:

Література[ред.ред. код]

  • Александрян Р. А., Мирзаханян Э. А. Общая топология. — М. : Высшая школа, 1979. — С. 132.
  • Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М. : Мир, 1971. — С. 9.
  • Мельников О. В. и др. Общая алгебра: В 2 т. Т. 1. — Наука, 1990. — С. 13. — ISBN 5020144266.

Див. також[ред.ред. код]