Диз'юнкція (логіка)

Диз'юнкція (лат. disjunctio — розділення) (операція OR) — двомісна логічна операція, що має значення «істина», якщо хоча б один з операндів має значення «істина». Операція відображає вживання сполучника «або» в логічних висловлюваннях. Диз'юнкція є бінарною операцією, тобто, має два операнда. Запис може бути префіксним — знак операції стоїть перед операндами, інфіксним — знак операції стоїть між операндами або постфіксним — знак операції стоїть після операндів. При числі операндів більше 2-х префіксний і постфіксний записи економніші.

Позначається: в математиці та логіці як $\lor$, в програмуванні як | чи or. Найчастіше зустрічаються такі варіанти запису: a||b, a|b, a$\lor$b, a+b, a or b.

У техніці операцію диз'юнкції втілює логічний вентиль АБО.

Визначення

Діаграма Венна для операції $A\lor B$

В булевій алгебрі диз'юнкція — це функція двох, трьох або більше змінних (вони ж — операнди операції, вони ж — аргументи функції). Правило: результат дорівнює 0, Якщо всі операнди рівні 0; У всіх інших випадках результат дорівнює1 .

Таблиця істинності виглядає таким чином:

$~A$	$~B$	$A\lor B$
хибність	хибність	хибність
хибність	істина	істина
істина	хибність	істина
істина	істина	істина

Відповідною операцією в теорії множин є об'єднання множин.

Властивості

• асоціативність

$a\lor (b\lor c)\equiv (a\lor b)\lor c$

• комутативність

$a\lor b\equiv b\lor a$

• дистрибутивність

$a\land (b\lor c)\equiv (a\land b)\lor (a\land c)$

$a\lor (b\land c)\equiv (a\lor b)\land (a\lor c)$

$a\lor (b\leftrightarrow c)\equiv (a\lor b)\leftrightarrow (a\lor c)$

• ідемпотентність

$a\lor a\equiv a$

• монотонність

$(a\rightarrow b)\rightarrow ((a\lor c)\rightarrow (b\lor c))$

Функціональна повнота

Множина операцій $\{\lor ,\lnot \}$ є функціонально повною:

$a\land b\equiv \lnot (\lnot a\lor \lnot b)$

$a\rightarrow b\equiv \lnot a\lor b$

$a\;|\;b\equiv \lnot a\lor \lnot b$

$a\downarrow b\equiv \lnot (a\lor b)$

Двійкові операції

Диз'юнкція часто використовується для двійкових операцій. Наприклад: Логічний елемент 2АБО AB f (A B)

• 0 $\lor$ 0 = 0
• 0 $\lor$ 1 = 1
• 1 $\lor$ 0 = 1
• 1 $\lor$ 1 = 1
• 1010 $\lor$ 1110 = 1110

Мнемонічне правило для диз'юнкції з будь-якою кількістю входів звучить так: На виході буде: «1» тоді і тільки тоді, коли хоча б на одному вході є «1», «0» тоді і тільки тоді, коли на всіх входах «0»

Багатозначна логіка

В багатозначній логіці операція диз'юнкції може визначатися іншими способами. Найчастіше застосовується схема: a$\lor$b= max(a, b), де a, b € [0,1]. Можливі й інші варіанти. Як правило, намагаються зберегти сумісність з булевою алгеброю для значень операндів 0, 1.

Програмування

У комп'ютерних мовах використовуються два основні варіанти диз'юнкції: логічне «АБО» і побітове «АБО». Наприклад, у мовах C / C++ логічне «АБО» позначається символом "||", а побітове — символом "|". У мовах Pascal / Delphi обидва види диз'юнкції позначаються з використанням ключового слова «or», а результат дії визначається типом операндів. Якщо операнди мають логічний тип (наприклад, Boolean) — виконується логічна операція, якщо цілочисельний (наприклад, Byte) — порозрядне. Логічне «АБО» застосовується в операторах умовного переходу або в аналогічних випадках, коли потрібне отримання результату false або true. Наприклад:

if  (a || b) {/* Якісь дії */}; 

Результат буде дорівнювати false, якщо обидва операнда рівні false або 0. У будь-якому іншому випадку результат буде дорівнювати true. При цьому застосовують стандартну угоду: якщо значення лівого операнда є true, то значення правого операнда не обчислюється (замість b може стояти будь-яка складна формула). Така угода прискорює виконання програми і служить корисним прийомом в деяких випадках. Побітове «АБО» виконує звичайну операцію булевої алгебри для всіх бітів лівого і правого операнда попарно. Наприклад, якщо a = 01100101 b = 00101001, то a АБО b = 01101101

Див. також

• Булева множина
• Закони де Моргана
• Умовна диз'юнкція
• Виключна диз'юнкція

Література

• Диз'юнкція // Філософський енциклопедичний словник / В. І. Шинкарук (гол. редкол.) та ін. — Київ : Інститут філософії імені Григорія Сковороди НАН України : Абрис, 2002. — С. 155. — 742 с. — 1000 екз. — ББК 87я2. — ISBN 966-531-128-X.