Диференціальні рівняння

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Візуалізація повітряного потоку з рівняння Нав'є-Стокса

Диференціальні рівняння — розділ математики, який вивчає теорію та способи розв'язування рівнянь, що містять шукану функцію та її похідні різних порядків одного аргументу (звичайні диференціальні) чи кількох аргументів (диференціальні рівняння в частинних похідних). Диференціальні рівняння широко використовуються на практиці, зокрема для опису перехідних процесів.

Теорія диференціальних рівнянь — розділ математики, що займається вивченням диференціальних рівнянь і пов'язаних з ними задач. Їх результати застосовуються в багатьох природничих науках, особливо широко — у фізиці.

Простіше кажучи, диференціальне рівняння — це рівняння, в якому невідомою величиною є деяка функція. При цьому, в самому рівнянні бере участь не тільки невідома функція, але й різні її похідні. Диференціальним рівнянням описується зв'язок між невідомою функцією та її похідними. Такі зв'язки віднаходяться в різних областях знань: у механіці, фізиці, хімії, біології, економіці та ін.

Розрізняють звичайні диференціальні рівняння і диференціальні рівняння з частинними похідними. Складнішими є інтегро-диференціальні рівняння.

Спочатку диференціальні рівняння виникли із задач механіки, в яких брали участь координати тіл, їхні швидкості та прискорення, розглянуті як функції від часу.

Диференційне рівняння називається інтегровним в квадратурах, якщо задачу знаходження усіх розв'язків можна звести до обчислення скінченного числа інтегралів від відомих функцій і простих алгебраїчних операцій.

Історія[ред.ред. код]

Диференціальні рівняння винайдені Ньютоном (1642–1727). Ньютон вважав цей свій винахід настільки важливим, що зашифрував його у вигляді анаграми, смисл якої в сучасних термінах можна вільно передати так: «закони природи виражаються диференціальними рівняннями».

Основним аналітичним досягненням Ньютона було розкладання всіляких функцій в ступеневі ряди (сенс другої, довгої анаграми Ньютона в тому, що для вирішення будь-якого рівняння потрібно підставити в рівняння ряд і прирівняти члени однакового степеня). Особливе значення мала тут відкрита ним формула бінома Ньютона (зрозуміло, не тільки з цілими показниками, для яких формулу знав, наприклад, Вієт (1540–1603), але і, що особливо важливе, з дробовими і негативними показниками). Ньютон розклав в «ряди Тейлора» всі основні елементарні функції (раціональні, радикали, тригонометричні, експоненту і логарифм). Це, разом з складеною ним таблицею первісних (яка перейшла в майже незмінному вигляді в сучасні підручники аналізу), дозволяло йому, за його словами, порівнювати площі будь-яких фігур «за половину чверті години».

Ньютон указував, що коефіцієнти його рядів пропорційні послідовним похідним функції, але не зупинявся на цьому детально, оскільки він справедливо вважав, що всі обчислення в аналізі зручніше проводити не за допомогою кратних диференціювань, а шляхом обчислення перших членів ряду. Для Ньютона зв'язок між коефіцієнтами ряду і похідними був скоріше засобом обчислення похідних, чим засобом складання ряду. Одним з найважливіших досягнень Ньютона є його теорія сонячної системи, викладена в «Математичних принципах натуральної філософії» («Principia») без допомоги математичного аналізу. Зазвичай вважають, що Ньютон відкрив за допомогою свого аналізу закон всесвітнього тяжіння. Насправді Ньютону (1680) належить лише доказ еліптичності орбіт в полі тяжіння за законом зворотних квадратів: сам цей закон був вказаний Ньютону Гуком (1635–1703) і, мабуть, вгадувався ще декількома вченими.

З величезного числа робіт XVIII століття з диференціальних рівнянь виділяються роботи Ейлера (1707–1783) і Лагранжа (1736–1813). У цих роботах була передусім розвинена теорія малих коливань, а отже — теорія лінійних систем диференціальних рівнянь; попутно виникли основні поняття лінійної алгебри (власні числа і вектори в n-мірному випадку). Характеристичне рівняння лінійного оператора довго називали секулярним, оскільки саме з такого рівняння визначаються секулярні (вікові, тобто повільні в порівнянні з річним рухом) збурення планетних орбіт згідно з теорією малих коливань Лагранжа. Услід за Ньютоном Лаплас і Лагранж, а пізніше Гаус (1777–1855) розвивають також методи теорії збуджень.

Коли була доведена нерозв'язність алгебраїчних рівнянь в радикалах, Жозеф Ліувілль (1809–1882) побудував аналогічну теорію для диференціальних рівнянь, встановивши неможливість рішення низки рівнянь (зокрема таких класичних, як лінійні рівняння другого порядку) в елементарних функціях і квадратурі. Пізніше Софус Лі (1842–1899), аналізуючи питання про інтегрування рівнянь в квадратурі, прийшов до необхідності детально досліджувати групи дифеоморфізмів (що отримали згодом ім'я груп Лі) — так з теорії диференціальних рівнянь виникла одна з найплідніших областей сучасної математики, подальший розвиток якої був тісно пов'язаний зовсім з іншими питаннями (алгебри Лі ще раніше розглядали Сімеон-Дені Пуассон (1781–1840) і, особливо, Карл Густав Якоб Якобі (1804–1851)).

Новий етап розвитку теорії диференціальних рівнянь починається з робіт Анрі Пуанкаре (1854–1912), створена ним «якісна теорія диференціальних рівнянь» разом з теорією функцій комплексних змінних привела до заснування сучасної топології. Якісна теорія диференціальних рівнянь, або, як тепер її частіше називають, теорія динамічних систем, зараз розвивається найактивніше і має найважливіші застосування теорії диференціальних рівнянь в природознавстві.

Звичайні диференціальні рівняння[ред.ред. код]

Звичайні диференціальні рівняння — це рівняння виду , де  — невідома функція (можливо, вектор-функція; в такому випадку часто говорять про систему диференціальних рівнянь), що залежить від змінної часу , штрих означає диференціювання по . Число називається порядком диференціального рівняння.

Розв'язком (або рішенням) диференціального рівняння називається функція, що диференціюється n разів, і задовольняє рівнянню в усіх точках своєї області визначення. Зазвичай існує ціла множина таких функцій, і для вибору однієї з них на розв'язок потрібно накласти додаткові умови: наприклад, вимагати, щоб рішення приймало в певній точці певне значення.

Основні завдання і результати теорії диференціальних рівнянь: існування і єдиність рішення різних задач для ЗДР, методи розв'язання простих ЗДР, якісне дослідження рішень ЗДР без знаходження їхнього явного вигляду.

Диференціальні рівняння в частинних похідних[ред.ред. код]

Диференціальні рівняння в частинних похідних — це рівняння, що містять невідомі функції від декількох змінних та їх частинних похідних.

Загальний вид таких рівнянь можна представити у вигляді:

,

де  — незалежні змінні, а  — функція цих змінних.

Нелінійні диференціальні рівняння[ред.ред. код]

Нелінійні диференціальні рівняння — розділ математики, який вивчає теорію та способи розв'язування нелінійних рівнянь, що містять шукану функцію та її похідні різних порядків одного аргументу (звичайні нелінійні диференціальні) чи кількох аргументів (нелінійні диференціальні рівняння в частинних похідних). Диференціальні рівняння широко використовуються на практиці, зокрема для опису перехідних процесів.

Теорія нелінійних диференціальних рівнянь — розділ математики, що займається вивченням диференціальних рівнянь і пов'язаних з ними задач. Їх результати застосовуються в багатьох природничих науках: механіці, фізиці, термопружності, оптиці.

Нелінійне диференціальне рівняння — це рівняння, в якому невідомою величиною є деяка функція. В самому диференціальному рівнянні бере участь не тільки невідома функція, але й різні її похідні в нелінійному виді. Нелінійним диференціальним рівнянням описується зв'язок між невідомою функцією та її похідними. Такі зв'язки віднаходяться в різних областях знань: у механіці, фізиці, хімії, біології, економіці та ін.

Розрізняють звичайні нелінійні диференціальні рівняння і нелінійні диференціальні рівняння в частинних похідних.

Нелінійні диференціальні рівняння виникли із задач нелінійної механіки, в яких брали участь координати тіл, їх швидкості та прискорення, розглянуті як функції від часу.

Точні розв'язки[ред.ред. код]

Деякі диференційні рівняння мають розв'язки, що можна подати точною формулою. Такі класи рівнянь подані нижче.

В таблиці, H(x), Z(x), H(y), Z(y), чи H(x,y), Z(x,y) — довільні інтегровні функції від x чи y (або від обидвох параметрів), a A, B, C, I, L, N, M — константи. В загальному A, B, C, I, L, є дійсними числами, а N, M, P та Q можуть бути комплексними. Диференційні рівняння подані в альтернативній формі, що дозволяє їх розв'язати методом інтегрування.

Диференційні рівняння Загальний розв'язок
1

2

3

4

5

розв'язком може бути неявна фунція від x та y, отримана обчисленням наведеного інтегралу використовуючи заміну змінних

6
7

Якщо ДР є точним, тобто

тоді розв'язок задається формулою:

де та  — певні функції, залежні від інтегралів, що дозволяють коректно визначити функцію hold.

Якщо рівняння не є точним, з функцій H(x,y) та Z(x,y) можна визначити інтегральний множник, після домноження рівняння на який воно розв'язується аналогічно до точного.

8

Якщо

тоді

Якщо

тоді

Якщо

тоді

9

де  — d розв'зки поліному степеня d:

Зауважте, що 3 і 4 є частковими випадками 7, вони досить поширені і презентовані для повноти.

Також 8 рівняння є частковим випадком 9, але 8 досить поширена форма рівнянь, особливо у простих фізичних та інженерних задачах.

Приклади[ред.ред. код]

,

де  — маса тіла,  — його координата,  — сила, діюча на тіло з координатою у момент часу . Його розв'язком є траєкторія руху тіла під дією вказаної сили.

  • Коливання струни описується рівнянням
,

де  — відхилення струни в точці з координатою у момент часу , параметр задає властивості струни.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

Українською[ред.ред. код]

  1. Самойленко А. М.; Перестюк М. О.; Парасюк I.О. (2003 р.). Диференціальні рівняння. Київ: Либідь. ISBN 966-06-0249-9.  (укр.)
  2. Бугрій О.М.; Процах Н.П.; Бугрій Н.В. (2011 р.). Основи диференціальних рівнянь: теорія, приклади та задачі : Навчальний посібник. Львів. ISBN 978-966-2645-01-9.  (укр.)
  3. Каленюк П.І. (2014 р.). Диференціальні рівняння : навчальний посібник. Львів: Міністерство освіти і науки України, Національний університет "Львівська політехніка". ISBN 9786176075646.  (укр.)
  4. Кривошея С.А.; Перестюк М.О.; Бурим В.М. (2004 р.). Диференціальні та інтегральні рівняння : підручник. Київ: Либідь. ISBN 9660603487.  (укр.)
  5. Ф. С. Гудименко (1958 р.). Диференціальні рівняння. Київ: Видавництво Київського державного університету.  (укр.)

Іншими мовами[ред.ред. код]

  1. Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Graduate Studies in Mathematics 140. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.  (англ.)
  2. Tenenbaum, Morris; Pollard, Harry (1985). Ordinary Differential Equations. Dover. ISBN 0-486-64940-7.  (англ.)
  3. Hartman, Philip (2002) [1964]. Ordinary differential equations. Classics in Applied Mathematics 38. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 978-0-89871-510-1.  (англ.)
  4. Strauss, Walter A. (2008). Partial Differential Equations: An Introduction (вид. 2nd). John Wiley & Sons. ISBN 978-0470054567.  (англ.)
  5. В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения - 4-е изд. - Ижевск : Удм. гос. университет, 2000. - 367 с. ISBN 5-89806-029-4 (рос.)

Посилання[ред.ред. код]

Основні розділи Математики
АлгебраДискретна математикаДиференціальні рівнянняГеометріяКомбінаторикаЛінійна алгебраМатематична логікаМатематична статистикаМатематичний аналізТеорія ймовірностейТеорія множинТеорія чиселТригонометріяМатематична фізикаТопологіяФункціональний аналізРекреаційна математика


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.