Диференціальний оператор

Диференціальний оператор (взагалі кажучи, не неперервний, не обмежений і не лінійний) - оператор, визначений деяким диференціальним виразом і діючий в просторах (взагалі кажучи, векторнозначних) функцій (або перетинів диференційовних розшарувань) на диференційовних многовидах, або в просторах, спряжених до просторів цього типу.

Диференціальний вираз — це таке відображення $\lambda$ множини ${\mathfrak {P}}$ у просторі перетинів розшарування $\xi$ з базою $M$ у простір перетинів розшарування $\eta$ з тією ж самою базою, що для будь-якої точки $p\in M$ і будь-яких перетинів $f,\;g\in {\mathfrak {P}}$ з збігів їх $k$-струй у точці $p$ слідує збіг $\lambda f$ і $g$ у тій же точці; найменше з чисел $k$, що задовольняють цій умові для всіх $p\in M$, називається порядком диференціального виразу і порядком диференціального оператора, визначеного цим виразом.

На многовиді $M$ без краю диференціальний оператор часто є розширенням оператора, природно обумовленого фіксованим диференціальним виразом на деякій (відкритій в підходящій топології) множині нескінченно (або досить багато разів) диференційовних перетинів даного векторного розшарування $\xi$ з базою $M$ і, таким чином, допускає природне узагальнення на випадок пучків ростків перетинів диференційовних розшарувань. На многовиді $M$ з краєм $\partial M$ диференціальний оператор $L$ часто визначається як розширення аналогічного оператора, природно певного диференціальним виразом на множині тих диференційовних функцій (або перетинів розшарування), обмеження яких на $\partial M$ лежать у ядрі деякого диференціального оператора $l$ на $\partial M$ (або задовольняє будь-яким іншим умовам, визначеним тими чи іншими вимогами до області значень оператора $l$ на обмеженнях функццій з області визначення оператора $L$, наприклад, нерівностями); диференціальний оператор $l$ називається таким, що визначає граничні умови для диференціального оператора $L$. Лінійні диференціальні оператори в просторах, спряжених до просторів функцій (або перетинів), визначаються як оператори, зв'язані до диференціальних операторів, зазначеного вище виду у цих просторах.