Диференційовна функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Функція однієї чи кількох дійсних змінних називається диференційовною в точці, якщо в деякому околі цієї точки вона в певному сенсі досить добре наближається деякою лінійною функцією (відображенням). Дане лінійне відображення називається диференціалом функції в цій точці.

Якщо функція є диференційовною в кожній точці деякої множини, то вона називається диференційовною на цій множині.

У випадку функцій однієї змінної умова диференційовності еквівалентна умові існування похідної.

Функції однієї змінної[ред.ред. код]

Нехай функція визначена в деякому околі точки і нехай . Функція називається диференційовною в точці (англ. differentiable), якщо приріст можна представити у вигляді:

.

де:

 — стала. При фіксованій A не залежить від ; але коли відбувається зміна , A змінюється також,
при .

Лінійна функція (від ) називається диференціалом функції в точці і позначається , або, коротше .

Таким чином:

при ,
.

Властивості[ред.ред. код]

Для того, аби функція була диференційовна в деякій точці , необхідно і достатньо щоб вона мала похідну в цій точці, при чому, в цьому випадку:

.

Якщо функція диференційовна в деякій точці, то вона також є неперервною в цій точці.

Функції багатьох змінних[ред.ред. код]

Відображення називається диференційовним в точці якщо існує лінійне відображення , що залежить від точки , таке що

або

.

Лінійне відображення називається диференціалом відображення в точці .

Якщо відображення задано за допомогою функцій

то матриця диференціала  — це матриця Якобі, елементи якої рівні частковим похідним

Зв'язок між диференційовністю і частковими похідними[ред.ред. код]

На відміну від функцій однієї змінної де диференційовність еквівалентна існуванню похідної, у випадку багатьох змінних залежність з частковими похідними трохи складніша. Справедливими є наступні твердження.

  • Якщо функція диференційовна в точці, то всі її часткові похідні і більш загально похідні за напрямком існують в цій точці.
  • Зворотнє твердження невірне. Прикладом може бути функція
для якої в точці (0, 0) існують похідні за всіма напрямками, зокрема і часткові похідні, але в цій точці функція не є диференційовною.
  • Якщо всі часткові похідні в точці існують і додатково є в ній неперервними то функція є диференційовною.
  • Умова неперервності часткових похідних не є необхідною для диференційовності. Наприклад у функції нижче обі часткові похідні не є неперервні в точці (0, 0) але вона є диференційовною в цій точці

Джерела[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.