Ланцюгове правило (правило диференціювання складеної функції) дозволяє обчислити похідну композиції двох і більше функцій на основі індивідуальних похідних.
Якщо функція f має похідну в точці , а функція g має похідну в точці , тоді складена функція h(x) = g(f(x)) також має похідну в точці .
Оператор \ Функція
|
|
|
Диференціал
|
1:
|
2:
3:
|
Часткова похідна
|
|
|
Повна похідна
|
|
|
Нехай функції, визначені в околах на числовій прямій, де і Нехай також ці функції диференційовані: Тоді їх композиція також диференційована: і її похідна має вигляд:
У позначеннях Лейбніца ланцюгове правило для обчислення похідної функції де набуває такого вигляду:
Диференціал функції в точці має вигляд:
де — диференціал тотожного відображення :
Нехай тепер Тоді , і згідно з ланцюговомим правилом:
Таким чином, форма першого диференціала залишається тою самою в незалежності від того, є змінна функцією чи ні.
Нехай Тоді функція може бути записана у вигляді композиції де
Диференціюємо ці функції окремо:
отримуємо
Нехай дані функції де і Нехай також ці функції диференційовані: і Тоді їх композиція також диференційована, і її диференціал має вигляд
Зокрема, матриця Якобі функції є добутком матриць Якобі функцій і
- Якобіан композиції двох функцій є добутком якобіанів індивідуальних функцій:
Для часткових похідних складеної функції справедливо