Диференціювання складної функції

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Розділи в Математичному аналізі
Фундаментальна теорема
Границя функції
Неперервність
Теорема Лагранжа

Ланцюгове правило (правило диференціювання складної функції) дозволяє обчислити похідну композиції двох і більше функцій на основі індивідуальних похідних.

Якщо функція f має похідну в точці , а функція g має похідну в точці , тоді складна функція h(x) = g(f(x)) також має похідну в точці .

Одновимірний випадок[ред.ред. код]

Нехай функції, визначені в околах на числовій прямій, де і Нехай також ці функції диференційовані: Тоді їх композиція також диференційована: і її похідна має вигляд:

Зауваження[ред.ред. код]

У позначеннях Лейбніца ланцюгове правило для обчислення похідної функції де набуває такого вигляду:

Інваріантність форми першого диференціала[ред.ред. код]

Диференціал функції в точці має вигляд:

де — диференціал тотожного відображення :

Нехай тепер Тоді , і згідно з ланцюговомим правилом:

Таким чином, форма першого диференціала залишається тою самою в незалежності від того, є змінна функцією чи ні.

Приклад[ред.ред. код]

Нехай Тоді функція може бути записана у вигляді композиції де

Диференціюємо ці функції окремо:

отримуємо

Багатовимірний випадок[ред.ред. код]

Нехай дані функції де і Нехай також ці функції диференційовані: і Тоді їх композиція також диференційована, і її диференціал має вигляд

Зокрема, матриця Якобі функції є добутком матриць Якобі функцій і

Наслідки[ред.ред. код]

  • Якобіан композиції двох функцій є добутком якобіанів індивідуальних функцій:

Для часткових похідних складної функції справедливо


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.