Диференціювання (алгебра)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

В алгебрі диференціювання — операція, що узагальнює властивості різних класичних похідних і дозволяє ввести диференційно-геометричні ідеї в алгебраїчну геометрію. Спершу поняття було введено для дослідження інтегрованості в елементарних функціях алгебраїчними методами.

Визначення[ред. | ред. код]

Нехай алгебра над кільцем . Диференціюванням алгебри називається -лінійне відображення , що задовольняє правилу добутку:

Більш загально диференціюванням комутативної алгебри із значеннями в -модулі називається -лінійне відображення , що задовольняє правилу добутку. В цьому випадку називають диференційним модулем над Множина всіх диференціювань із значеннями в позначається (, ) і є -модулем.

Властивості[ред. | ред. код]

  • На можна природно ввести структуру алгебр Лі:
  • Якщо x1, x2, ..., xnA, тоді методом математичної індукції:

(остання рівність справедлива, якщо для всіх комутує з ).

  • Зокрема якщо A є комутативною і x1 = x2 = ... = xn, то D(xn) = nxn−1D(x).
  • Якщо алгебра A має одиничний елемент 1, то D(1) = 0 оскільки D(1) = D(1·1) = D(1) + D(1). Крім того оскільки D є K-лінійною, для всіх xK, D(x) = D(x·1) = x·D(1) = 0.
  • Якщо kK є підкільцем, і A є k-алгеброю, тоді справедливим є включення

Градуйоване диференціювання[ред. | ред. код]

Нехай -градуйована алгебра, градуювання елемента позначимо . Правильним аналогом диференціювань в цьому випадку є градуйовані дифференціювання, породжені однорідними відображеннями степеня , що задовільняють градуйованим тотожностям ():

Якщо , то градуийовані диференціювання рівні звичайним. Якщо , то їх зазвичай називають супердиференціюваннями. Супердиференціювання утворюють супералгебру Лі відносно суперкомутатора

Прикладами супердиференціювань є внутрішнє і зовнішнє диференціювання на кільці диференціальних форм.

Література[ред. | ред. код]

Див. також[ред. | ред. код]