Довірчий інтервал

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Довірчий інтервал (англ. confidence interval, CI) — в математичній статистиці є типом інтервальної оцінки[en], яка обчислюється за даними спостереження, і покриває невідомий статистичний параметр із заданою надійністю. Це інтервал, у межах якого з заданою довірчою імовірністю можна чекати значення оцінюваної (шуканої) випадкової величини. Застосовується для повнішої оцінки точності в порівнянні з точковою оцінкою. Метод довірчих інтервалів розробив американський статистик Єжи Нейман, виходячи з ідей англійського статистика Рональда Фішера.

Наприклад, можна сказати: результати опитування показали, що кандидат набере на виборах 40 % голосів. Проте математично правильніше сказати: з імовірністю 90 % кількість голосів набраних кандидатом згідно з опитуваннями лежить в інтервалі 40±3 %. Тут довірчим інтервалом є ±3 %.

Визначення[ред. | ред. код]

Довірчим інтервалом параметра розподілу випадкової величини з рівнем довіри p[примітка 1], породжений вибіркою ,

називається інтервал з межами та , які є реалізаціями випадкових величин та , таких, що .

Граничні точки довірчого інтервалу та називаються довірчими межами.

Тлумачення довірчого інтервалу, засноване на інтуїції, буде наступним: якщо рівень довіри p великий (скажімо, 0,95 або 0,99), то довірчий інтервал майже напевно містить істинне значення . Ще одне тлумачення поняття довірчого інтервалу: його можна розглядати як інтервал значень параметра, сумісних з досвідченими даними і не суперечать їм.

Точніше, хоч також не зовсім формальне, тлумачення довірчого інтервалу з рівнем довіри, скажімо, 95 % складається в наступному: якщо провести дуже велику кількість незалежних експериментів з аналогічним побудовою довірчого інтервалу, то в 95 % експериментів довірчий інтервал буде містити оцінюваний параметр (тобто буде виконуватися ), а в решти 5 % експериментів довірчий інтервал не містить .

Основні положення[ред. | ред. код]

Для повного уявлення про точність вимірювань та надійність оцінки випадкових відхилень результатів вимірювань, особливо при обмеженій кількості значень вимірюваної величини, необхідно задатися довірчими межами, довірчим інтервалом та довірчою ймовірністю. Нехай  — n незалежних спостережень над випадковою величиною з законом розподілу F(z/a), що залежить від параметра a, значення якого невідомо. Довірчі межі випадкових похибок — це верхня та нижня межі інтервалу, в які похибки потрапляють із заданою ймовірністю Р. Величина Р називається довірчою ймовірністю. Для визначення довірчих меж похибок необхідно знати густину розподілу похибок та ймовірність потрапляння похибок у довірчі межі. Якщо не ввести обмеження, то задача матиме множину розв'язків.

  1. Визначення 1. Функція спостережень a1(x1,…,xn) (помітимо, що це випадкова величина) називається нижньою довірчою границею для параметра a з рівнем довіри РД (звичайно близьким до 1), якщо при будь-якому значенні виконується P

.

  1. Визначення 2. Функція спостережень a2(x1,…,xn) (випадкова величина) називається верхньою довірчою границею для параметра з рівнем довіри РД, якщо при будь-якім значенні

.

  1. Визначення 3. Інтервал з випадковими кінцями (випадковий інтервал)

I(x) = (a1(x), a2(x)), обумовлений двома функціями спостережень, називається довірчим інтервалом для параметра a з рівнем довіри РД, якщо при будь-якім значенні a , тобто імовірність (що залежить від a) накрити випадковим інтервалом I(x) справжнє значення a — більше або дорівнює РД.

Побудова довірчих границь і інтервалів[ред. | ред. код]

Для побудови довірчого інтервалу (чи границі) необхідно знати закон розподілу статистики , по якій оцінюється невідомий параметр (такою статистикою може бути оцінка ). Один зі способів побудови полягає в наступному. Припустимо, що деяка випадкова величина , що залежить від статистики і невідомого параметра a така, що:

  1. закон розподілу відомий і не залежить від a;
  2. є неперервною та монотонною по.

Виберемо діапазон для інтервал так, щоб влучення в нього було практично вірогідно: для чого досить як взяти квантилі розподілу рівня (1- РД)/2 і (1+ РД)/2 відповідно. Перейдемо в до іншого запису випадкової події. Розв'язуючи нерівності щодо параметра a, одержимо (думаючи, що монотонно зростає по a): . Це співвідношення вірне при будь-якім значенні параметра a, і тому, відповідно до визначення, випадковий інтервал є довірчим для a з рівнем довіри РД. Якщо спадає по a, інтервалом є . Для побудови однобічної границі для a виберемо значення так, щоб чи де  — квантиль рівня . Після розв'язання нерівності одержимо однобічні довірчі границі для a.

Dovinterval.jpg
Рисунок — Довірчі межі та довірчі ймовірності.

Для звичайних технічних вимірювань, коли не вимагається високий ступінь надійності та точності, довірча ймовірність береться у межах 0,9—0,95. Виходячи з нормального закону розподілу, можна розраховувати ймовірність виникнення випадкових похибок з різними значеннями.

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. величину, що доповнює довірчу ймовірність до одиниці, зазвичай позначають α

Література[ред. | ред. код]

Сеньо П. С. (2007). Теорія ймовірностей та математична статистика (вид. 2-ге, перероб. і доп.). Київ: Знання. с. 446.