Додавання матриць

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

У математиці, додавання матриць — це операція додавання двох матриць, що розраховується за допомогою додавання відповідних елементів. Однак існують й інші операції, які також можуть розглядатися як додавання матриць: пряма сума[⇨] та сума Кронекера.

Процес додавання[ред. | ред. код]

Для додавання дві матриці повинні мати відповідну кількість рядків та стовпчиків.[1] Сумою двох матриць A та B буде матриця з такою ж кількістю рядків та стовпців, що й у початкових матрицях. Сума A та B, що записується як A + B, розраховується за допомогою додавання відповідних елементів A та B:[2][3]

Наприклад:

Також можна відняти одну матрицю від іншої, якщо вони мають однаковий розмір. AB розраховується як віднімання відповідних елементів A та B. Матриця, що утвориться в результаті, буде мати такий самий розмір, як і A та B. Наприклад:

Основні властивості операцій додавання матриць:

Пряма сума[ред. | ред. код]

Іншою операцією, що використовується рідше, є пряма сума (позначається ⊕). Зверніть увагу, що сума Кронекера також позначається ⊕; зрозуміти, яка операція мається на увазі, зазвичай можна з контексту. Пряма сума будь-якої пари матриць A розміру m × n та B розміру p × q — це матриця розміру (m + p) × (n + q), що визначається як[4][2]

Наприклад,

Прямою сумою матриць є спеціальний вид блочної матриці, зокрема пряма сума квадратних матриць — блочна діагональна матриця.

Загалом, пряма сума n матриць визначається як:[2]

де нулі є фактично блоками нулів, тобто нульовими матрицями.

Сума Кронекера[ред. | ред. код]

Докладніше: Добуток Кронекера

Сума Кронекера відрізняється від прямої суми, але також позначається ⊕. Вона розраховується за допомогою добутка Кронекера ⊗ та звичайного додавання матриць. Якщо A — матриця розміру n×n, B — матриця розміру m×m і  — одинична матриця розміру k×k тоді ми можемо визначити суму Кронекера як

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Elementary Linear Algebra by Rorres Anton 10e p53
  2. а б в Lipschutz, Lipson.
  3. Riley, K.F.; Hobson, M.P.; Bence, S.J. (2010). Mathematical methods for physics and engineering. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3. 
  4. Weisstein, Eric W. Matrix Direct Sum(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Джерела[ред. | ред. код]