Досконала множина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Досконала множиназамкнута множина, що не має ізольованих точок, тобто така, що співпадає з множиною своїх граничних точок, або своєю похідною множиною. Іншими словами множина досконала якщо вона замкнена і щільна в собі. Це визначення справедливе для топологічних просторів.

Приклади[ред.ред. код]

  • Множина Кантораніде не щільна, досконала множина.
  • Побудуємо сімейство досконалих ніде не щільних множин з додатною мірою. Кожна з цих множин (їх також називають канторовими), це множина точок, що залишаються на відрізку після видалення з нього послідовності інтервалів. Нехай - довільне додатне число менше 1. Спочатку видалимо з всі точки відкритого інтервалу довжини . Із двох відрізків що залишились видалимо середні відкриті інтервали, довжина кожного з яких дорівнює . Потім з кожного з чотирьох відрізків що залишились видалимо середні відкриті інтервали довжиною . Після кроків міра видалених інтервалів дорівнюватиме , тому міра сукупності видалених інтервалів після нескінченної послідовності видалень дорівнюватиме . Міра канторової множини, що залишилась, дорівнюватиме . Побудовані таким чином множини є досконалими, ніде не щільними множинами додатньої міри.

Властивості[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]