Дотичне розшарування

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Неформально, дотичне розшарування многовиду (в даному випадку кола) виходить при розгляді всіх дотичних просторів (зверху) і об'єднання їх гладко без перетинів (знизу)

Дотичне розшарування гладкого многовиду — це векторне розшарування над , шар якого в точці є дотичним простором в точці . Дотичне розшарування зазвичай позначається .

Елемент тотального простору — це пара , де і . Дотичне розшарування має природну топологією (не топологією диз'юнктивного об'єднання) і гладку структуру, що перетворюють його на многовид. Розмірність дорівнює подвоєній розмірності .

Топологія і гладка структура[ред. | ред. код]

Якщо -мірний многовид, то він має атласом карт , де  — відкрита підмножина і

гомеоморфізм.

Ці локальні координати на породжують ізоморфізм між і для будь-якого . Можна визначити відображення

як

Ці відображення використовуються для визначення топології і гладкої структури на .

Підмножина з відкрита тоді і тільки тоді, коли  — відкрите в для будь-якого . Ці відображення — гомеоморфізми відкритих підмножин і , тому вони утворюють карти гладкої структури на . Функції переходу на перетинах карт задаються матрицями Якобі відповідних перетворень координат, тому вони є гладкими відображеннями відкритих підмножин .

Дотичне розшарування — окремий випадок більш загальної конструкції, званої векторним розшаруванням. Дотичне розшарування -мірного многовиду можна визначити як векторне розшарування рангу над , функції переходу для якого задаються якобіаном відповідних перетворень координат.

Приклади[ред. | ред. код]

  • Найпростіший приклад отримуємо для . У цьому випадку дотичне розшарування тривіально і ізоморфно проекції .
  • Одинична окружність . Її дотичне розшарування також тривіально і ізоморфно . Геометрично, воно є циліндром нескінченної висоти (дивись картинку вгорі).
  • Простий приклад нетривіального дотичного розшарування отримуємо на одиничній сфері , це дотичне розшарування нетривіально внаслідок теореми про причісуванні їжака.
  • На жаль зобразити можна тільки дотичні розшарування дійсної прямої і одиничної окружності , які обидва є тривіальними. Для двовимірних многовидів дотичне розшарування — це 4-вимірний многовид, тому його складно уявити.

Векторні поля[ред. | ред. код]

Векторне поле — це гладка векторна функція на многовиді , значення якої в кожній точці — вектор, дотичний до , тобто гладке відображення

таке, що образ , що позначається , лежить у — дотичному просторі в точці . Мовою локально тривіальних розшарувань, таке відображення називається перетином. Векторне поле на — це перетин дотичного розшарування над .

Множина всіх векторних полів над позначається . Векторні поля можна складати поточечно:

і множити на гладкі функції на

,

отримуючи нові векторні поля. Множина всіх векторних полів отримує при цьому структуру модуля над комутативною алгеброю гладких функцій на (позначається ).

Якщо є гладкою функцією, то операція диференціювання вздовж векторного поля дає нову гладку функцію . Цей оператор диференціювання має такі властивості:

  • Адитивність:
  • Правило Лейбніца:

Векторне поле на многовиді можна також визначити як оператор, котрий володіє перерахованими вище властивостями.

Локальне векторне поле на — це локальний перетин дотичного розшарування. Локальне векторне поле визначається тільки на якійсь відкритій підмножині з , при цьому в кожній точці з задається вектор з відповідного дотичного простору. Множина локальних векторних полів на утворює структуру, що називається пучком дійсних векторних просторів над .

Канонічне векторне поле на TM[ред. | ред. код]

На кожному дотичному розшаруванні можна визначити канонічне векторне поле. Якщо  — локальні координати на , то векторне поле має вигляд

є відображенням .

Існування такого векторного поля на можна порівняти з існуванням канонічної 1-форми на кодотичному розшаруванні.

Посилання[ред. | ред. код]

  • Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — Москва : Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 прим. — ISBN 5-354-00341-5.
  • Васильев В. А. Введение в топологию. — Москва : ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7.
  • John M. Lee. Introduction to Smooth Manifolds. — New York : Springer-Verlag, 2003. — ISBN 0-387-95495-3.
  • Jurgen Jost. Riemannian Geometry and Geometric Analysis. — Springer-Verlag, 2002. — ISBN 3-540-42627-2.
  • Todd Rowland Tangent Bundle(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  • Tangent Bundle на PlanetMath.(англ.)