Дотичний вектор

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Існують дві основні модифікації: дотичний вектор в точці p підмноговиду і його узагальнення дотичний вектор в точці p гладкого многовиду.

Сукупність усіх дотичних векторів в точці p утворить векторний простір, який називається дотичним простором в точці p. Сукупність усіх дотичних векторів в усіх точках многовиду утворить векторне розшарування, яке називається дотичним розшаруванням.

Дотичний вектор до підмноговиду[ред.ред. код]

Дотичний вектор в точці p гладкого підмноговиду M евклідового простору — вектор швидкості в точці p деякої кривої в M.

Інакше кажучи, дотичний вектор в точці p підмноговиду, локально заданого параметрично:

r:\R^m\to \R^n С p=r(0)\

є довільна лінійна комбінація частинних похідних \frac{\partial r}{\partial x_i}(0).

Зауваження[ред.ред. код]

  • Для цього визначення дотичного вектора достатньо, щоб підмноговид був класу гладкості C^1.
  • Згідно з теоремою Уітні про вкладення, довільний гладкий n-вимірний многовид допускає вкладення в \R^{2n}. За цим, не порушуючи строгість, можна використовувати дане визначення для будь-якого гладкого многовиду. Певна річ при цьому доведеться доводити, незалежність визначення від вкладення.

Абстрактні гладкі многовиди[ред.ред. код]

Дотичний вектор як клас еквівалентності шляхів[ред.ред. код]

Поняття дотичного вектора до многовиду в точці узагальнює поняття дотичного вектора до гладкого шляху в просторі \mathbb{R}^n. Нехай в \mathbb{R}^n задано гладкий шлях \mathbf{f}:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}^n:

\mathbf{f}(t) = f_1(t)\mathbf{e}_1 + f_2(t)\mathbf{e}_2 + \dots + f_n(t)\mathbf{e}_n

Тоді існує єдиний прямолінійний і рівномірний шлях \ mathbf {l} (t), який дотикається до нього в момент часу t0:

\mathbf{l}(t) = \mathbf{f}(t_0) + (t-t_0)\left({\partial f_1 \over \partial x_1}(t_0) \mathbf{e}_1 + {\partial f_2 \over \partial x_2}(t_0)\mathbf{e}_2 + \dots + {\partial f_n \over \partial x_n}(t_0)\mathbf{e}_n\right)

Дотик двох шляхів означає, що різниця \mathbf{f}(t) — \mathbf{f'}(t) = o (t-t_0); відношення дотичності шляхів в точці є відношенням еквівалентності. Дотичний вектор в точці x0 можна визначити як клас еквівалентності всіх гладких шляхів, що проходять через точку x0 в один і той же момент часу, і дотикаються один з одним у цій точці.

Дотичний вектор як диференціювання в точці[ред.ред. код]

Нехай M — гладкий многовид. Розглянемо простір операторів X, що зіставляють кожній гладкій функції f:M\to \R число Xf і мають такі властивості:

  • Адитивність: X(f+h)=Xf+Xh,
  • Правило Лейбніца: X(fh)=(Xf)\cdot h(p)+f(p)\cdot(Xh).

множина всіх таких операторів в точці p має природну структуру лінійного простору, а саме:

(X+Y)f=Xf+Yf;
(k\cdot X)f=k\cdot(Xf).

Це простір назвемо дотичним до многовиду M в точці p простором, а його елементи — дотичними векторами.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  1. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А.Т Современная геометрия. Методы и приложения — 2е. — М.: Наука, 1986. — 760 с
  2. Зорич В.А., Математический анализ, Т. 1,2. М. Наука, 1981
  3. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.