Дробовий ідеал
Дробовий ідеал — підмножина Q поля часток K області цілісності R, що має вигляд , де — ідеал кільця R.
У інших термінах Q є R-підмодулем поля K, всі елементи якого допускають спільний знаменник, тобто існує елемент такий, що для всіх
Для двох дробових ідеалів Q і P визначається операція множення: QP — множина всіх скінченних сум Дробові ідеали утворюють щодо множення напівгрупу з одиницею R. Для дробового ідеалу Q визначається дробовий ідеал
Очевидно Якщо при цьому виконується рівність, то дробовий ідеал Q є оборотним елементом напівгрупи і дробовий ідеал є його оберненим елементом.
Для дедекіндових кілець і лише для них напівгрупа є групою, тобто кожен дробовий ідеал кільця Дедекінда має обернений дробовий ідеал. Дана група є вільною абелевою групою, твірними якої є прості ідеали кільця Дедекінда.
Оборотні елементи напівгрупи називаються оборотними ідеалами. Кожен оборотний ідеал має скінченний базис над R. Також кожен скінченно породжений R-модуль є дробовим ідеалом.
Головним дробовим ідеалом називається дробовий ідеал породжений одним елементом як R-підмодуль поля K. Тобто головний дробовий ідеал, це множина виду Всі головні дробові ідеали є оборотними: оберненим ідеалом є ідеал Два головних ідеали і рівні тоді і тільки тоді, коли де e — оборотний елемент кільця R.
Нехай — перетин всіх головних дробових ідеалів, що містять дробовий ідеал I. Еквівалентно,
де
- .
Якщо тоді ідеал I називається дивізоріальним.
- Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — Москва : Мир, 1971. — С. 707. — (Елементи математики)(рос.)
- Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — Москва : ИЛ, 1963. — Т. 1. — 373 с.(рос.)
- Ю.Дрозд. Алгебричні числа. Конспект лекцій [Архівовано 17 січня 2015 у Wayback Machine.]