Дробовий ідеал

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Дробовий ідеалпідмножина Q поля часток K області цілісності R, що має вигляд , де ідеал кільця R.

У інших термінах Q є R-підмодулем поля K, всі елементи якого допускають спільний знаменник, тобто існує елемент такий, що для всіх

Для двох дробових ідеалів Q і P визначається операція множення: QP — множина всіх скінченних сум Дробові ідеали утворюють щодо множення напівгрупу з одиницею R. Для дробового ідеалу Q визначається дробовий ідеал

Очевидно Якщо при цьому виконується рівність, то дробовий ідеал Q є оборотним елементом напівгрупи і дробовий ідеал є його оберненим елементом.

Для дедекіндових кілець і лише для них напівгрупа є групою, тобто кожен дробовий ідеал кільця Дедекінда має обернений дробовий ідеал. Дана група є вільною абелевою групою, твірними якої є прості ідеали кільця Дедекінда.

Оборотні елементи напівгрупи називаються оборотними ідеалами. Кожен оборотний ідеал має скінченний базис над R. Також кожен скінченно породжений R-модуль є дробовим ідеалом.

Головним дробовим ідеалом називається дробовий ідеал породжений одним елементом як R-підмодуль поля K. Тобто головний дробовий ідеал, це множина виду Всі головні дробові ідеали є оборотними: оберненим ідеалом є ідеал Два головних ідеали і рівні тоді і тільки тоді, коли де e — оборотний елемент кільця R.

Дивізоріальні ідеали[ред.ред. код]

Нехай перетин всіх головних дробових ідеалів, що містять дробовий ідеал I. Еквівалентно,

де

.

Якщо тоді ідеал I називається дивізоріальним.

Література[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]