Друга теорема Веєрштрасса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Точна верхня межа (червоний) і точна нижня межа (синій) неперервної функції ƒ(x) на закритому проміжку [a,b]

Дру́га теоре́ма Веєрштрасса доводить досягнення неперервною функцією своїх точних меж. Вперше сформулював і довів німецький математик Карл Веєрштрасс.

Формулювання теореми[ред. | ред. код]

Якщо функція неперервна на проміжку , то вона досягає на цьому проміжку своїх точних верхньої та нижньої меж. (тобто на проміжку знайдуться точки та такі, що , .

Доведення[ред. | ред. код]

Доведемо, що функція неперервна на проміжку досягає своєї точної верхньої межі (досягнення точної нижньої межі доводиться аналогічно).

Припустимо супротивне, тобто припустимо, що функція не приймає значення точної верхньої межі у будь-якій точці проміжку . Тоді для всіх точок проміжку нерівність є правильною, і ми можемо розглянути на проміжку скрізь додатну функцію

.

Оскільки знаменник не обертається в нуль та неперервний на проміжку , то за теоремою про неперервність частки неперервних функцій, функція також неперервна на проміжку . У цьому разі, згідно з першою теоремою Веєрштрасса, функція обмежена на проміжку , тобто знайдеться таке додатне число , що для будь-якого з проміжку справедлива нерівність:

.

Її можна переписати (враховуючи що ) у такому вигляді:

.

Це співвідношення правильне для будь-яких точок з проміжку . Воно суперечить тому, що є точною верхньою межею (найменшою з усіх верхніх меж) функції на проміжку . Отже, отримана суперечність доводить хибність нашого припущення.

Теорему доведено.

Див. також[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]