Діагональна матриця

Діагональна матриця — квадратна матриця, всі недіагональні елементи якої дорівнюють нулю.

Більш формально, діагональною називають таку матрицю $A$ , що $\forall i\neq j:a_{ij}=0$ .

Можна також записати

a_{ij}=a_{i}\delta _{ij}\,

,

Одинична матриця діагональна за визначенням.

Властивості

Сума, добуток та обернена матриця(якщо існує) діагональних матриць є діагональною матрицею. Діагональні матриці утворюють підкільце в кільці симетричних матриць:
- $\ diag(a_{1},\ldots ,a_{n})+diag(b_{1},\ldots ,b_{n})=diag(a_{1}+b_{1},\ldots ,a_{n}+b_{n})$
- $\ diag(a_{1},\ldots ,a_{n})\cdot diag(b_{1},\ldots ,b_{n})=diag(a_{1}b_{1},\ldots ,a_{n}b_{n})$
- $\ diag(a_{1},\ldots ,a_{n})^{-1}=diag(a_{1}^{-1},\ldots ,a_{n}^{-1})$
Визначник діагональної матриці дорівнює добутку всіх елементів головної діагоналі.
В матриці $\ diag(a_{1},\ldots ,a_{n})$ власними значеннями є $\ a_{1},\ldots ,a_{n}$ з власними векторами $\ e_{1},\ldots ,e_{n}$ .
Достатньою умовою приведення матриці до діагонального вигляду є попарна відмінність всіх власних значень матриці.

Довільна квадратна матриця є подібною до діагональної матриці тоді і тільки тоді, коли в неї всі власні вектори лінійно незалежні. Такі матриці називають діагоналізовними.

Над полем дійсних чи комплексних чисел справедливі й такі твердження:

відповідно до спектральної теореми довільна нормальна матриця унітарно подібна до діагональної матриці

\forall A\;(AA^{*}=A^{*}A)\;\;\exists U(U^{*}=U^{-1}):\;\;UAU^{*}=D

відповідно до сингулярного представлення матриці для довільної матриці існують унітарні матриці U та V такі що матриця U*AV є діагональною з додатніми елементами

\forall A\;\exists U,V(U^{*}=U^{-1},V^{*}=V^{-1}):\;\;U^{*}AV=D,D>0