Діагональний метод Кантора

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Ілюстрація діагонального аргументу  Кантора існування незліченних множин. Послідовність s не може входити у наведений перелік послідовностей.
Бієкція f(x) = 2x із натуральних у парні числа показує, що нескінченна множина може мати однакову потужність із точною підмножиною себе самої. Однак, діагональний метод Кантора показує, що  існують нескінченні множини різних потужностей.

У теорії множин, Діагональний метод Кантора або діагональний аргумент Кантора, також відомий як метод діагоналізації, був опублікований у 1891 році Георгом Кантором як математичний доказ того, що існують нескінченні множини для котрих не існує взаємно однозначної відповідності з нескінченною множиною натуральних чисел[1][2][3]. Такі множини тепер називають незліченними множинами, і розміри незліченних множин вивчає теорія кардинальних чисел, започаткована Кантором.

Кантор вперше довів[en] незліченність дійсних чисел у 1874 році іншим методом, відмінним від діагонального[4][5]. Однак діагональний метод є потужним і універсальним способом, що був відтоді використаний у широкому діапазоні доведень[6], включаючи першу теорему Геделя про неповноту і тезу Черча — Тюрінга. Аргументи діагоналізації також часто є джерелом суперечностей, таких як парадокс Рассела[7][8] і парадокс Рішара[en][9].

Незліченна множина[ред. | ред. код]

У статті 1891 року Кантор розглянув множину T усіх нескінченних послідовностей двійкових чисел (тобто кожна цифра числа є нулем або одиницею). Він почав із конструктивного доведення такої теореми:

Якщо s1, s2, … , sn, … є довільним переліком елементів із T, то завжди існує елемент s із T якому не відповідає жоден елемент sn у переліку.

Доведення починається із перелічення усіх елементів із T, наприклад:

s1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)
s2 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)
s3 = (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...)
s4 = (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...)
s5 = (1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, ...)
s6 = (0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, ...)
s7 = (1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, ...)
...

Далі, послідовність s будується вибираючи 1-шу цифру оберненою до 1-ї цифри s1 (замінюючи 0 на 1 і навпаки), 2-гу цифру оберненою до 2-ї цифри s2, 3-тю цифру оберненою до 3-ї цифри s3, і загалом для кожного nn-та цифра s є  оберненою до n-тої цифри sn. Для прикладу вище отримаємо:

s1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)
s2 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)
s3 = (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...)
s4 = (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...)
s5 = (1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, ...)
s6 = (0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, ...)
s7 = (1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, ...)
...
s = (1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, ...)

За побудовою, s відрізняється від кожного sn, оскільки їхні n-ті цифри відрізняються (підсвічені у прикладі). Тому s не може бути у переліку.

На основі цієї теореми, використовуючи доведення від супротивного Кантор показує, що:

Множина T є незліченною.

Доведення починається із припущення, що T зліченна. Тоді всі її елементи можуть бути записані як перелік s1, s2, … , sn, … . Використання попередньої теореми до цього переліку дає елемент s, який не належить до переліку. Але, це суперечить тому, що s є елементом T і тому належить до переліку. Із суперечності випливає, що первісне припущення хибне. Отже, T незліченна.

Дійсні числа[ред. | ред. код]

Незліченність дійсних чисел вже була встановлена першим доведенням незліченності Кантора[en], але вона також випливає із попереднього результату. Для доведення цього будується ін'єкція f з множини T нескінченних двійкових рядків у множину R дійних чисел. Оскільки T є незліченною, то образ цієї функції f, який є підмножиною R, теж незліченний. Отже, множина R теж є незліченною. Також Кантор запропонував спосіб побудови бієкції між T і R. Отже, T і R мають однакову потужність, яка називається "потужністю континууму" і зазвичай позначається .

Ін'єкція з T у R визначається відображенням рядків із T у десяткові числа, наприклад t = 0111… у число 0.0111…. ця функція визначена як f(t) = 0.t, є ін'єкцією, оскільки відображає різні рядки у різні числа.

Узагальнення для множин[ред. | ред. код]

Кантор використав узагальнену форму діагонального аргументу щоби довести Теорему Кантора: для кожної множини Sбулеан S — тобто, множина всіх підмножин S (позначена як P(S))—має більшу потужність ніж сама S. Доведення відбувається так:

Нехай f буде будь-якою функцією із S у P(S). досить довести, що f не може бути сюр'єкцією. Це значить що деякий елемент T із P(S), тобто деяка підмножина S, не лежить в образі f. Розглянемо таку множину:

T = { sS: sf(s) }.

Для кожного s із S, або s належить T або ні. Якщо s належить T, то за визначенням T, s не належить f(s), тобто T не дорівнює f(s). З іншої сторони, якщо s не належить T, то за визначенням T, s належить f(s), тобто знову T не дорівнює f(s).

Наслідки[ред. | ред. код]

Із цього випливає що поняття множини всіх множин є суперечливим. Якби S була множиною всіх множин, то P(S) була б одночасно більшою за S і підмножиною S.

Парадокс Рассела показав, що наївна теорія множин, що базується на аксіомній схемі необмеженого розуміння, є суперечливою. 

Діагональний метод показує, що множина дійсних чисел більша за множину натуральних (і разом цілих та раціональних). Отже, можна запитати чи існує множина потужність якої посередині між потужністю цілих і дійсних чисел. Це питання приводить до континуум-гіпотези. Аналогічно, питання чи існує множина з потужністю між  |S| і |P(S)| для деякої нескінченної S приводить до  узагальненої континуум-гіпотези.

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Georg Cantor (1891). Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung[en] 1890—1891 1: 75–78.  Англійський переклад: Ewald, William B. (ed.) (1996). From Immanuel Kant to David Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, Volume 2. Oxford University Press. с. 920–922. ISBN 0-19-850536-1. 
  2. Keith Simmons (30 July 1993). Universality and the Liar: An Essay on Truth and the Diagonal Argument. Cambridge University Press. с. 20–. ISBN 978-0-521-43069-2. 
  3. Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (вид. 3rd). New York: McGraw-Hill. с. 30. ISBN 0070856133. 
  4. Gray, Robert (1994). Georg Cantor and Transcendental Numbers. American Mathematical Monthly[en] 101 (9): 819–832. JSTOR 2975129. doi:10.2307/2975129. 
  5. Bloch, Ethan D. (2011). The Real Numbers and Real Analysis. New York: Springer. с. 429. ISBN 978-0-387-72176-7. 
  6. Sheppard, Barnaby (2014). The Logic of Infinity (вид. illustrated). Cambridge University Press. с. 73. ISBN 978-1-107-05831-6. 
  7. Russell's paradox. Stanford encyclopedia of philosophy. 
  8. Bertrand Russell (1931). Principles of mathematics. Norton. с. 363–366. 
  9. Keith Simmons (30 July 1993). Universality and the Liar: An Essay on Truth and the Diagonal Argument. Cambridge University Press. с. 27. ISBN 978-0-521-43069-2. 

Зовнішні посилання[ред. | ред. код]