Діагонально панівна матриця

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Матриця є діагонально панівною якщо для кожного рядку, величина діагонального елементу кожного рядка більша або дорівнює сумі величин усіх інших (недіагональних) елементів цього рядка. Точніше, у матриці панівна діагональ якщо

Зауважте, що це визначення послуговується слабкою нерівністю і, через це іноді його називають слабке діагональне панування. Якщо використати строгу нерівність (>), його називають строге діагональне панування. Термін діагональне панування може означати як строге так і слабке діагональне панування, залежно від контексту.[1]

Приклади[ред. | ред. код]

Матриця

дає

  оскільки
  оскільки
  оскільки .

Через те, що величина кожного діагонального елементу більша або дорівнює сумі величин елементів у рядку, кажуть, що матриця діагонально панівна або має панівну діагональ.

Матриця

Але тут,

  оскільки
  оскільки
  оскільки .

З того, що величини і менші ніж величини сум елементів у відповідних рядках, не є діагонально панівною.

Матриця

дає

  оскільки
  оскільки
  оскільки .

Тут, у кожному рядку, величина діагонального елементу більша ніж відповідна сума елементів рядка, є строго діагонально панівною матрицею.

Застосування і властивості[ред. | ред. код]

Строго діагонально панівна матриця є оборотною. Цей результат можна довести, використовуючи теорему кіл Гершгорина.

Ермітова матриця з панівною діагоналлю з дійсними невід'ємними діагональними елементами є невід'ємно означеною.

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Наприклад, Horn and Johnson (1985, p. 349) використовують це для позначення слабкого діагонального панування.