Діагоналізовна матриця

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У лінійній алгебрі, квадратна матриця A називається діагоналізовною (англ. diagonalizable) якщо вона подібна діагональній матриці, тобто, якщо існує P і її обернена такі, що P−1AP є діагональною матрицею. Якщо V є скінченновимірний векторний простір, тоді лінійне відображення T : VV називається діагоналізовним якщо у V існує впорядкований базис відповідно до якого T представлене діагональною матрицею. Діагоналізація — процес пошуку відповідної діагональної матриці для діагоналізовної матриці або лінійного відображення.[1] Квадратна недіагоналізовна матриця називається дефективною.

Характеристика[ред.ред. код]

Засадничий факт про діагоналізовні відображення і матриці виражається так:

  • n×n матриця A над полем F є діагоналізовною тоді і тільки тоді коли сума вимірностей її власних просторів дорівнює n, що виконується тоді і тільки тоді якщо існує базис Fn, який складається з власних векторів A. Якщо такий базис знайдено, можна утворити матрицю P стовпчики якої і будуть вектори з цього базису, і P−1AP буде діагональною матрицею. Діагональні елементи матриці є власними значеннями A.
  • Лінійне відображення T : VV є діагоналізовним тоді і тільки тоді коли сума вимірностей її власних просторів дорівнює dim(V), що виконується тоді і тільки тоді коли існує базис V. що складається з власних векторів T. Відповідно до такого базису, T буде представлене діагональною матрицею. Діагональними елементами цієї матриці будуть власні значення T.

Іншою характеристикою: Матриця або лінійне відображення є діагоналізовною над полем F тоді і тільки тоді коли її мінімальний многочлен є добутком різних лінійних множників над полем F. (Інакше кажучи, матриця діагоналізовна тоді і тільки тоді коли всі її елементарні дільники лінійні.)

Наступні достатні (але не необхідні) умови часто корисні.

  • n×n матриця A діагоналізовна над полем F якщо вона має n відмінних власних значень в F, тобто характеристичний многочлен має n різних коренів в F; однак, зворотній твердження може бути хибним.
  • Лінійне зображення T : VV з n = dim(V) діагоналізовне якщо воно має n різних власних значень, тобто якщо його характеристичний многочлен має n різних коренів у F.

Діагоналізація[ред.ред. код]

Якщо матрицю A можна діагоналізувати, тобто,

P^{-1}AP=\begin{pmatrix}\lambda_{1}\\
& \lambda_{2}\\
& & \ddots\\
& & & \lambda_{n}\end{pmatrix},

тоді:

AP=P\begin{pmatrix}\lambda_{1}\\
& \lambda_{2}\\
& & \ddots\\
& & & \lambda_{n}\end{pmatrix} .

Записуючи P як блочну матрицю її векторів-стовпчиків

P=\begin{pmatrix}\vec{\alpha}_{1} & \vec{\alpha}_{2} & \cdots & \vec{\alpha}_{n}\end{pmatrix},

рівняння подане вище можна записати як

A\vec{\alpha}_{i}=\lambda_{i}\vec{\alpha}_{i}\qquad(i=1,2,\cdots,n).

Отже стовпчики P є правими власними векторами A, і відповідні діагональні елементи є відповідними власними значеннями. Оборотність P також припускає, що власні вектори лінійно незалежні і утворюють базис для Fn. Це необхідна і достатня умова для діагоналізовності. Вектори-рядки P−1 є лівими власними векторами A.

Коли матриця A — ермітова, з власних векторів A можна утворити ортонормований базис для Cn. За таких умов P буде унітарною і P−1 дорівнює ермітово-спряженій від P.

Приклади[ред.ред. код]

Діагоналізовні матриці[ред.ред. код]

Недіагоналізовні матриці[ред.ред. код]

Загалом, матриця повороту не є діагоналізовною над полем дійсних чисел, але всі матриці повороту діагоналізовні над полем комплексних чисел (їх власні значення це 1 і два спряжених комплексних числа). Навіть якщо матриця недіагоналізовна, завжди можна зробити якнайкраще і знайти матрицю з такими самими властивостями, яка містить власні значення на головній діагоналі і або 0-і, або 1-і на наддіагоналі — відома як Жорданова нормальна форма.

Деякі матриці недіагоналізовні ні над яким полем, особливо відомі ненульові нільпотентні матриці. Загальніше це відбувається коли не збігаються алгебраїчні і геометричні кратності власних значень. Наприклад, розглянемо

 C = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}.

Ця матриця недіагоналізовна: не існує матриці U такої, що U−1CU буде діагональною. Насправді, C має одне власне значення (а саме нуль) і його алгебраїчна кратність 2, а геометрична - 1.

Деякі дійсні матриці недіагоналізовні над полем дійсних чисел. Наприклад,

 B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}.

Матриця B не має дійсних власних значень, отже не існує дійсної матриці Q такої, що Q−1BQ буде діагональною. Але ми можемо діагоналізувати B якщо дозволимо комплексні числа. Дійсно, якщо ми візьмемо

 Q = \begin{bmatrix} 1 & \textrm{i} \\ \textrm{i} & 1 \end{bmatrix},

тоді Q−1BQ діагональна.

Зауважте, що наведені приклади показують, що сума діагоналізовних матриць не обов'язково діагоналізовна.

Як діагоналізувати матрицю[ред.ред. код]

Розглянемо матрицю

A=\begin{bmatrix}
1 & 2  & 0 \\
0 & 3  & 0 \\
2 & -4 & 2 \end{bmatrix}.

Ця матриця має такі власні значення

 \lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = 2, \quad \lambda_3= 1.

A є 3×3 матрицею з 3 різними власними значеннями; отже, вона діагоналізовна. Зауважте, що якщо існує рівно n різних власних значень у n×n матриці тоді така матриця діагоналізовна.

Ці власні значення є значеннями які будуть присутні в діагоналізованій формі матриці A, отже знайшовши власні значення ми діагоналізували A. Ми можемо зупинитися на цьому, але можна перевірити за допомогою власних векторів для діагоналізації A.

Власні вектори A такі

v_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad v_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad v_3 = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}.

Можна легко перевірити, що A v_k = \lambda_k v_k.

Тепер, нехай P буде матрицею з цими власними векторами як стовпчиками:

P= \begin{bmatrix}
-1 & 0 & -1 \\
-1 & 0  & 0 \\
2 & 1 & 2 \end{bmatrix}.

Неважливо в якому порядку власні векторі в P; зміна порядку власних векторів у P лиш змінює порядок власних значень у діагоналізованій формі A.[2]

Тоді P діагоналізує A:

P^{-1}AP =
\begin{bmatrix}
0 & -1 & 0 \\
2 & 0  & 1 \\
-1 & 1 & 0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 2  & 0 \\
0 & 3  & 0 \\
2 & -4 & 2 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & -1 \\
-1 & 0  & 0 \\
2 & 1 & 2 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
3 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1\end{bmatrix}.

Знов зауважимо, що власні значення виринають у діагональній матриці.

Застосування[ред.ред. код]

Якщо матриця діагоналізовна, діагоналізацію можна використати для ефективного обчислення степені A. Припустимо ми з'ясували, що

P^{-1}AP = D

діагональна матриця. Тоді, оскільки добуток матриць є асоціативним,

\begin{align} 
A^k &= (PDP^{-1})^k = (PDP^{-1}) \cdot (PDP^{-1}) \cdots (PDP^{-1}) \\
&= PD(P^{-1}P) D (P^{-1}P) \cdots (P^{-1}P) D P^{-1} \\
&= PD^kP^{-1} \end{align}

останній вираз легко піддається обчисленню, оскільки містить лише степені діагональної матриці.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Horn & Johnson 1985
  2. Anton, H.; Rorres, C. (22 Feb 2000). Elementary Linear Algebra (Applications Version) (вид. 8th). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-17052-5. 

Посилання[ред.ред. код]