Тензорний добуток

Тензорний добуток — операція над лінійними просторами, а також над елементами (векторами, матрицями, операторами, тензорами тощо) просторів, що перемножуються.

Тензорний добуток лінійних просторів $A$ і $B$ є лінійний простір, що позначається $A\otimes B$, для елементів $a\in A$ і $b\in B$, їх тензорний добуток $a\otimes b$ лежить у просторі $A\otimes B$.

Позначення тензорного добутку виникло аналогічно позначенню декартового добутку множин.

Тензорний добуток векторних просторів

Скінченновимірні простори

Нехай $A$ і $B$ — скінченновимірні векторні простори над полем $K$, $\{e_{i}\}_{i=1\dots n}$ — базис в $A$, $\{f_{k}\}_{k=1\dots m}$ — базис в $B$. Тензорним добутком $A\otimes B$ просторів $A$ і $B$ будемо називати векторний простір, породжений елементами $e_{i}\otimes f_{k}$, що називаються тензорними добутками базисних векторів. Тензорний добуток $a\otimes b$ довільних векторів $a\in A,~b\in B$ можна визначати, вважаючи операцію $\otimes$ білінійною:

$(\lambda a_{1}+\mu a_{2})\otimes b=\lambda \,a_{1}\otimes b+\mu \,a_{2}\otimes b,~~\lambda ,\mu \in K$

$a\otimes (\lambda b_{1}+\mu b_{2})=\lambda \,a\otimes b_{1}+\mu \,a\otimes b_{2},~~\lambda ,\mu \in K$

При цьому тензорний добуток довільних векторів $a$ і $b$ виражається як лінійна комбінація базисних векторів $e_{i}\otimes f_{k}$. Елементи у $A\otimes B$, що представляються у вигляді $a\otimes b$, називаються розкладними.

Хоча тензорних добуток просторів визначається через набір базисів, його геометричні властивості не залежать від цього вибору.

Функторіальність

Тензорний добуток  — це в деякому сенсі найзагальніший простір, в який можна білінійно відобразити вихідні простори. А саме, для будь-якого іншого простору $C$ і білінійного відображення $\otimes ^{\prime }:A\times B\to C$ існує єдиний гомоморфізм $f:A\otimes B\to C$ такий, що

$\otimes ^{\prime }=f\circ \otimes$

Зокрема, звідси слідує, що тензорний добуток не залежить від вибору базисів в $A$ і $B$, оскільки всі простори, які при цьому отримуються $A\otimes B$ виявляються канонічно ізоморфні.

Таким чином, довільне білінійне відображення $L^{2}\ni \varphi :A\times B\to C$ може бути визначене як лінійне відображення $L\ni \varphi :A\otimes B\to C$, при чому достатньо задати його лише на добутку базисних векторів.

Простори $\ L^{2}(A\times B,C)$ і $L(A\otimes B,C)$ є канонічно ізоморфними.

Іншими словами, довільний функтор $\otimes :C\times C\rightarrow C$ називається тензорним добутком. Нехай $C$ - категорія із тензорним добутком $\otimes .$ Умовою асоціативності для $\otimes$є ізоморфізм

$\vartheta :\otimes (\otimes \times Id)\rightarrow \otimes (Id\times \otimes ).$

Тому для будь-якої трійки $A,B,C$ об'єктів категорії $C$є ізоморфізм

$\vartheta _{A,B,C}:(A\otimes B)\otimes C\rightarrow A\otimes (B\otimes C),$

такий, що діаграма

є комутативною для морфізмів $f,g,h$ категорії $C$.

Тензорні категорії аналогічні супералгебрам Хопфа.

Часткові випадки

Тензорний добуток двох векторів

(Матричний) добуток вектора-стовпчика справа на вектор-рядок дає їх тензорний добуток:

$\mathbf {a} \otimes \mathbf {b} ^{\textsf {T}}\rightarrow {\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\\a_{4}b_{1}&a_{4}b_{2}&a_{4}b_{3}\end{bmatrix}}$

або, якщо користуватись верхніми і нижніми індексами (по повторюваних індексах мається на увазі сумування):

$\mathbf {a} \otimes \mathbf {b} \rightarrow a_{i}b^{j}$.

Звідси слідує, що ${\textbf {b}}\otimes {\textbf {a}}=({\textbf {a}}\otimes {\textbf {b}})^{\mathrm {T} }$ та ${\textbf {a}}({\textbf {b}}\otimes {\textbf {c}})=({\textbf {ab}})\otimes {\textbf {c}}.$

Якщо ж не прив'язуватись до матричної форми запису і матричних операцій, то, як і для тензорів більш високого рангу, прямий добуток буде являти тензор більш високого рангу (для добутку вектора-стовпця і вектора-рядка — другого, тобто з двома значками) з компонентами, які дорівнюють добутку компонент добутку множників з відповідними індексами:

$P_{i}^{\ j}=a_{i}b^{j}$

$P_{ij}\ =a_{i}b_{j}$

$P^{ij}\ =a^{i}b^{j}$

Оскільки тензорний добуток двох векторів є кронекеровським добутком і утворює вектор, його не слід плутати з зовнішнім добутком векторів (англ. outer product) , що називається також діадним і результатом якого є матриця (тензор другого рангу).

Тензорним добутком простору векторів-стовпчиків на простір векторів-рядків є простір матриць.

Тензорний добуток операторів

Нехай $A:U_{1}\to U_{2}$, $B:W_{1}\to W_{2}$ — лінійні оператори. Тензорний добуток операторів $A\otimes B:U_{1}\otimes W_{1}\to U_{2}\otimes W_{2}$ визначається за правилом

$(A\otimes B)(u\otimes w)=(Au)\otimes (Bw),~~u\in U_{1},\,w\in W_{1}$

Якщо матриці операторів при деякому виборі базисів мають вигляд

$\mathrm {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}$

$\mathrm {B} ={\begin{bmatrix}b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}$

то матриця їх тензорного добутку запишеться в базисі, утвореному тензорним добутком базисів, у вигляді блочної матриці

$\mathrm {A} \otimes \mathrm {B} ={\begin{bmatrix}a_{11}B&\cdots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\cdots &a_{mn}B\end{bmatrix}}=$

$={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots &a_{11}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_{12}&\cdots &a_{1n}b_{1q}\\a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&\cdots &a_{11}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{21}&a_{1n}b_{22}&\cdots &a_{1n}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&\cdots &a_{11}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&\cdots &a_{1n}b_{pq}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}b_{11}&a_{m1}b_{12}&\cdots &a_{m1}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&\cdots &a_{mn}b_{1q}\\a_{m1}b_{21}&a_{m1}b_{22}&\cdots &a_{m1}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&\cdots &a_{mn}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&\cdots &a_{m1}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{p1}&a_{mn}b_{p2}&\cdots &a_{mn}b_{pq}\end{bmatrix}}$

Відповідна операція над матрицями називається добутком Кронекера, на честь Леопольда Кронекера.

Властивості

• $\dim A\otimes B=\dim A\cdot \dim B$

Наступні алгебраїчні властивості засновані на канонічному ізоморфізмі:

• Асоціативність

$(A\otimes B)\otimes C\simeq A\otimes (B\otimes C)$

• Комутативність

$A\otimes B\simeq B\otimes A$

• Лінійність

$A\otimes (B\oplus C)\simeq (A\otimes B)\oplus (A\otimes C)$

$\oplus$ — зовнішня сума лінійних просторів.

Тензорний добуток модулів над кільцем

Нехай $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}$ — модулі над деяким комутативним кільцем $R$. Тензорним добутком цих модулів називається модуль $B$ над $R$, даний разом з полілінійним відображенням $f\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to B,$ що володіє властивістю універсальності, тобто такий, що для будь-якого модуля $C$ над $R$ і будь-якого полілінійного відображення $g\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to C$ існує єдиний гомоморфізм модулів $h\colon B\to C$ такий, що діаграма

є комутативною. Тензорний добуток позначається $A_{1}\otimes \ldots \otimes A_{n}$. Із універсальності тензорного добутку виходить, що він є визначеним з точністю до ізоморфізму.

Для доведення існування тензорного добутку будь-яких двох модулів над комутативним кільцем побудуємо вільний модуль $M$, твірними якого будуть n-ки елементів модулів $(x_{1},\dots ,x_{n})$ де $x_{i}\in A_{i}$. Нехай $N$ — підмодуль $M$, що породжується такими елементами:

1. $(x_{1},\dots ,x_{i}+y_{i},\dots ,x_{n})-(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})-(x_{1},\dots ,y_{i},\dots ,x_{n})$
2. $(x_{1},\dots ,\lambda x_{i},\dots ,x_{n})-\lambda (x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})$

Тензорний добуток визначається як фактор-модуль $B=M/N$, клас $(x_{1},\dots ,x_{n})+N$ позначається $x_{1}\otimes \dots \otimes x_{n}$, і називається тензорним добутком елементів $x_{i}$, a $f$ визначається як відповідне індуковане відображення.

З 1) и 2) слідує що відображення $f\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to B$ полілінійне. Доведемо, що для будь-якого модулю $C$ і будь-якого полілінійного відображення $g\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to C$ існує єдиний гомоморфізм модулів $h$, такий, що $g=h\circ f$.

Насправді, оскільки $M$ вільний, то існує єдине відображення $h^{*}$, що робить діаграму

комутативною, а в силу того, що $g$ полілінійне, то на $N$ $h^{*}(N)=0$, звідси, переходячи до індукованого відображення, отримаємо, що $h\colon M/N\to C$, буде тим самим єдиним гомоморфізмом, існування якого і потрібно було довести.

Елементи $A_{1}\otimes \dots \otimes A_{n}$, що представляються у вигляді $x_{1}\otimes \dots \otimes x_{n}$, називаються розкладними.

Якщо $f_{i}\colon A_{i}\to B_{i}$ — ізоморфізми модулів, то індукований гомоморфізм, що відповідає білінійному відображенню

$f_{1}\otimes \dots \otimes f_{n}\colon A_{1}\otimes \dots \otimes A_{n}\to B_{1}\otimes \dots \otimes B_{n}$

що відповідає по властивості універсальності, називається тензорним добутком гомоморфізмів $f_{i}$.

Особливо простий випадок отримується у випадку вільних модулів. Нехай $e_{i1},\dots ,e_{in}$ — базис модуля $A_{i}$. Побудуємо вільний модуль $F$ над нашим кільцем, що має як базис елементи, які відповідають n-кам $(e_{1m},e_{2p},\dots ,e_{ns})$, визначивши відображення $f(e_{1m},e_{2p},\dots ,e_{ns})\to (e_{1m},e_{2p},\dots ,e_{ns})$ і поширюючи його на $A_{1}\times \dots \times A_{n}$ по лінійності. Тоді $F$ є тензорним добутком, де $(e_{1m},e_{2p},\dots ,e_{ns})$ є тензорним добутком елементів $e_{1m}\otimes e_{2p}\otimes \dots \otimes e_{ns}$. Якщо число модулів і число модулів і всі їх базиси скінченні, то

$rank(A_{1}\otimes \dots \otimes A_{n})=rankA_{1}\cdot \dots \cdot rankA_{n}$.

Див. також

• Згортка тензора
• Тензор
• Тензорне поле
• Добуток Адамара

Джерела

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — ISBN 5791300158.(рос.)
• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)

• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)