Ейконал

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ейконал - фізична величина, яка описує зміну фази хвилі в просторі й часі.

В певному сенсі це величина аналогічна еквіпотенціальним поверхням електричного поля - світло розповсюджується перпендикулярно до поверхні зі сталим ейконалом так само, як електричне поле направлене перпендикулярно до еквіпотенціальної поверхні.

Математичне визначення[ред.ред. код]

У випадку, коли світлові промені чи інші хвилі відбиваються й заломлюються різноманітними об'єктами, фронт хвилі може бути достатньо складним. Проте, якщо розміри перешкод набагато більші за довжину хвилі, в кожному окремому об'ємі простору можна наближено вважати хвилю плоскою й подати її у вигляді

 u = a e^{i\psi} \, ,

де амплітуда a незначно змінюється в просторі. Величина  \psi(\mathbf{r}, t)\, називається ейконалом. Для плоскої монохроматичної хвилі ейконал

 \psi = \mathbf{k}\cdot \mathbf{r} - \omega t - \varphi .

У загальному випадку ейконал задовільняє рівнянню ейконала, яке називають основним рівнянням геометричної оптики

 \frac{\partial \psi}{\partial x_i} \frac{\partial \psi}{\partial x^i} = 0

де  x^i - 4-вектори.

У випадку монохроматичного світла, тобто світла із визначеною частотою ω, ейконал можна подати у вигляді

 \psi = -\omega t + \psi_0 \,.

В такому випадку основне рівняння оптики набирає вигляду:

 (\nabla \psi_0)^2 = \frac{\omega^2}{c^2} ,

де c - швидкість світла у порожнечі.

При розповсюдженні світла в середовищі із залежним від координати показником заломлення  n(\mathbf{r}) , рівняння ейконалу має вигляд:

В такому випадку основне рівняння оптики набирає вигляду:

 (\nabla \psi_0)^2 = n(\mathbf{r})\frac{\omega^2}{c^2} .

Ейконал часто нормують на величину  \omega^2/c^2 , і тоді

 (\nabla \psi_0)^2 = n(\mathbf{r}) .


Хвильова поверхня, яка задає фронт хвилі, визначається сталістю ейконала:

 \psi_0 (x,y,z ) = \text{const} \,.

Напрям розповсюдження світла визначається градієнтом ейконала.

Крім оптики поняття ейконала використовується також у квантовій механіці, хвильові рівняння якої мають багато спільного з хвильовими рівняннями оптики, особливо у випадку малої довжини хвилі в порівнянні із розмірами об'єктів. У цьому випадку хвильова оптика зводиться до геометричної, а квантова механіка переходить до класичної механіки.

Загальна теорія відносності[ред.ред. код]

В гравітаційному полі рівняння для визначення ейконала набирає вигляду

 g^{ij} \frac{\partial \psi}{\partial x^i}\frac{\partial \psi}{\partial x^j} = 0 ,

де  g^{ij} задає метрику простору-часу.

Література[ред.ред. код]

  • Романюк М. О., Крочук А. С., Пашук І. П. Оптика. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 564 с.