Екзотична сфера

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Екзотична сфера — гладкий многовид М, що гомеоморфний, але не дифеоморфний стандартній n-сфері.

Історія[ред. | ред. код]

Перші приклади екзотичних сфер були побудовані Джоном Мілнором в розмірності 7; він довів, що на існує як мінімум 7 різних гладких структур. Тепер відомо, що має 28 гладких структур.

Ці приклади, так звані сфери Мілнора, були знайдені серед просторів -розшарувань над . Такі розшарування класифікуються двома цілими числами і  — елементом . Деякі з цих розшарувань гомеоморфні стандартній сфері, і при цьому не дифеоморфні їй.

Оскільки одинзв'язні, згідно узагальненої гіпотези Пуанкаре, перевірка гомеоморфності і зводиться до підрахунку гомологій ; ця умова накладає певні умови на і .

У доведенні недифеоморфності Мілнор міркує від противного. Він зауважує, що многовид є межею 8-мірного многовиду — простору розшарування диска над . Далі, якщо дифеоморфний стандартній сфері, то можна заклеїти кулею, отримавши замкнутий гладкий 8-мірний многовид. Підрахунок сігнатури отриманого многовиду через його числа Понтрягіна призводить до протиріччя.

Див. також[ред. | ред. код]