Експоненційне відображення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Експоненційне відображення — узагальнення поняття експоненційної функції та експоненти матриці в диференціальній геометрії і зокрема рімановій геометрії.

Для многовида на якому задано деяку афінну зв'язність експоненціальне відображення діє з дотичного розшарування у многовид .

Експоненційне відображення зазвичай позначається , а його звуження на дотичний простір в точці позначається і називається експоненційним відображенням в точці .

Визначення[ред. | ред. код]

Нехай — деякий гладкий многовид на якому задана афінна зв'язність і . Для кожного вектора існує єдина геодезична , що виходить з точки (тобто ), така що . Дана геодезична лінія визначена в деякому околі нуля в і також з властивостей геодезичних ліній там де значення в правій частині є визначеним. Зокрема є визначеним в деякому околі нуля простору .

Експоненційне відображення вектора визначається як . Воно є визначене загалом лише в деякому околі нуля дотичного простору.

Зокрема для ріманових многовидів існує канонічна афінна зв'язність (зв'язність Леві-Чивіти), що узгоджується з рімановою структурою многовида. Відображення визначене як вище для цієї конкретної зв'язності називається експоненційним відображенням для ріманових многовидів.

Властивості[ред. | ред. код]

  • .
Образ поверхні Землі при оберненому експоненційному відображенні до північного полюса.
  • Для кожної точки існує таке число , що експоненційне відображення визначене для всіх векторів , які задовольняють умову
  • Більш того, є дифеоморфізмом в деякому околі нуля в дотичному просторі в деякий окіл точки многовида . Таким чином, в деякому околі точки многовида визначене обернене експоненційне відображення (що також називається логарифмом і позначається ), що набуває значень в деякому околі нуля дотичного простору .
  • Нехай тепер , така що для (де ) відображення є визначене. Тоді множина є відкритою підмножиною в і відображення визначене на буде теж диференційовним.
  • Диференціал експоненціального відображення в будь-якій точці є тотожним лінійним оператором. Тобто
для будь-якого . Тут ми ототожнюємо простір, дотичний до , з самим простором .
  • Для груп Лі з бі-інваріантною метрикою експоненційне відображення збігається експонентою визначеною в теорії груп Лі. Важливим частковим випадком є експонента матриці.

Приклади[ред. | ред. код]

  • У випадку експоненційне відображення є канонічною ідентифікацією дотичного простору із при якій початок координат дотичного простору переходить у точку p. А саме
  • Для одиничної сфери із «південним полюсом» у точці якщо на ввести полярні координати то кожен дотичний вектор можна записати як і розглядати експоненту як функцію і . Тоді можна записати у явному виді
Зокрема образами кіл із радіусами є «екватор» кулі, образами кіл із радіусами є «північний полюс», а образами кіл із радіусами є «південний полюс». У цьому випадку експоненційне відображення є визначеним для всієї дотичної площини.
  • Натомість для , тобто одиничної кулі без «північного полюса», експоненційне відображення із дотичної площини у «південному полюсі» є визначеним лише у крузі

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

  • Hicks, Noel (1965). Notes on Differential Geometry. Van Nostrand, Princeton, N. J.,. ISBN 0442034105.  (англ.)