Експоненційний розпад

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Експоненційний розпад речовини. Більша стала розпаду — швидше зникає речовина. Графік показує розпад для сталих (λ) of 25, 5, 1, 1/5 і 1/25 для x від 0 to 5.

Речовина розпадається експоненційно якщо швидкість розпаду пропорційна кількості речовини. Символьно цей процес можна виразити через диференціальне рівняння, де N це кількість речовини і λ це додатній темп відомий як стала розпаду або радіоактивна стала:

Розв'язком цього рівняння (див. виведення нижче) є: Зміна з експоненційною швидкістю:

Тут N(t) — t і N0 = N(0) — це початкова кількість, тобто кількість на час t = 0.

Вимірювання швидкості розпаду[ред.ред. код]

Середня тривалість життя[ред.ред. код]

Якщо речовина, що розпадається, N(t), це кількість окремих елементів в певній множині, можливо підрахувати середній час поки елемент залишається у множині. Його називають середньою тривалістю життя і можна показати, що вона пов'язана із швидкістю розпаду, λ, так:

Середню тривалість життя можна розглядати як коефіцієнт масштабування часу, бо ми можемо записати рівняння експоненційного розпаду в термінах середньої тривалості життя, τ, замість сталої розпаду, λ:

ми можемо бачити, що τ це час за який сукупність зменшилась в 1/e = 0.367879441 разів.

Наприклад, якщо початкова кількість, сукупність збірки, N(0), становить 1000, тоді в час τ, сукупність, N(τ), становитиме 368.

Дуже схоже рівняння ми побачимо нижче, воно випливає коли замість e вибрати 2 як базу показникової функції. У цьому випадку отримаємо період напіврозпаду.

Період напіврозпаду[ред.ред. код]

Для багатьох людей інтуїтивнішою характеристикою експоненційного розпаду є час потрібний, щоб кількість речовини, що розпадається, зменшилась вдвічі. Цей час відомий як період напіврозпаду, і часто позначається символом t1/2. Період напіврозпаду можна записати в термінах сталої розпаду або середньої тривалості життя як:

Коли вставити цей вираз у в показниковому рівнянні вище і врахувати ln 2 в базі, рівняння переходить у:

Отже, обсяг матеріалу, що залишився є 2−1 = 1/2 піднесений до (цілого або дрібного) числа періодів напіврозпад, які минули. Таким чином, після трьох таких періодів залишиться 1/23 = 1/8 від стартової кількості.

Звідси, середня тривалість життя дорівнює періоду напіврозпаду розділеному на натуральний логарифм 2 або:

Наприклад, період напіврозпаду полонію-210 становить 138 днів, а середня тривалість життя 200 днів.

Розв'язування диференціального рівняння[ред.ред. код]

Рівняння, яке описує експоненційний розпад таке

або,відокремлюючи змінні,

І далі інтегруючи

де C — стала інтегрування, і отже

де кінцеву заміну, N0 = eC, отримуємо через використання t = 0, бо N0 визначено як кількість речовини в t = 0.

Ця форма рівняння найчастіше використовується для опису експоненційного розпаду. Будь що з сталої розпаду, середня тривалість життя або період напіврозпаду достатньо для описання розпаду. Символ λ для сталої розпаду є слідом звичайного запису власного значення. У цьому випадку, λ є власним значенням мінус диференціального оператора з N(t) як відповідною власною функцією. Одиницями вимірювання сталої розпаду є с−1.

Отримання середньої тривалості життя[ред.ред. код]

Маючи набір елементів, число яких зрештою зменшуються до нуля, середня тривалість життя, , це математичне сподівання часу необхідного для того, щоб об'єкт покинув набір. Конкретно, якщо особиста тривалість життя елемента набору це час між деяким часом відліку і видаленням елементу з набору, тоді середня тривалість життя це просто середнє арифметичне окремих тривалостей життя.

Починаючи з формули

ми спершу введемо нормалізаційний множник c для переходу до густини ймовірності:

або після перебудови

Ми бачимо, що експоненційний розпад це помножений на скаляр експоненційний розподіл (тобто тривалість життя кожного об'єкта розподілена експоненційно), який має має добре відоме математичне сподівання. Ми можемо обчислити його тут через використання інтегрування частинами.

Розпад двома або більше процесами[ред.ред. код]

Речовина може розпадатись через два чи більше процеси розпаду одночасно. Звичайно, ці процеси (відомі як «типи розпаду», «канали розпаду», «шляхи розпаду» і т.д.) мають різні ймовірності відбуття і, отже, відбуваються з різними швидкостями і різними періодами напіврозпаду одночасно.[1] Загальна швидкість розпаду речовини N задається через суму шляхів розпаду; звідси, у випадку двох процесів:

Розв'язок для цього рівняння наведено у попередньому розділі, де сума трактується як нова загальна стала розпаду .

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Іноді наводять частковий період напіврозпаду, але цей термін обманливий; через змагання за частинки між типами розпаду.

Посилання[ред.ред. код]