Екстремально незв'язний простір

В топології топологічний простір називається екстремально незв'язним, якщо замикання будь-якої відкритої множини є теж відкритою множиною.

Приклади

• Будь-який дискретний простір є екстремально незв'язним.
• Компактифікація Стоуна — Чеха дискретного простору є екстремально незв'язним простором.
• Спектр абелевої алгебра фон Неймана є екстремально незв'язним простором.
• Простір із коскінченною топологією є екстремально незв'язним але якщо простір є нескінченним він є зв'язаним. Натомість усі гаусдорфові екстремально незв'язні простори є цілком незв'язаними.
• Стрілка Зоргенфрея є прикладом гаусдорфового цілком незв'язного простору, що не є екстремально незв'язним.
• Метричні простори є екстремально незв'язаними тоді і тільки тоді коли вони є дискретними.
• Компактний гаусдорфів простір є екстремально незв'язаним тоді і тільки тоді коли він є ретрактом компактифікації Стоуна — Чеха дискретного простору.

Властивості

• Згідно теореми Глізона проективними об'єктамии категорії компактних гаусдорфових просторів є точності екстремально незв'язні компактні гаусдорфові простори.
• У регулярному екстремально незв'язному просторі не існує збіжних послідовностей без членів, що повторюються.
• Кожен регулярний простір є образом екстремально незв'язного цілком регулярного простору при досконалому незвідному відображенні.
• Образ екстремально незв'язного простору при неперервному відкритому відображенні є екстремально незв'язним простором.
• Усі регулярні екстремально незв'язні простори є нульвимірними.
• Всюди щільний підпростір екстремально незв'язного простору теж є екстремально незв'язним простором.

Див. також

• Зв'язаний простір
• Цілком незв'язний простір

Література

• Gleason, Andrew M. (1958), Projective topological spaces, Illinois Journal of Mathematics, 2 (4A): 482—489, doi:10.1215/ijm/1255454110, MR 0121775
• Hartig, Donald G. (1983), The Riesz representation theorem revisited, American Mathematical Monthly, 90 (4): 277—280, doi:10.2307/2975760
• Johnstone, Peter T. (1982). Stone spaces. Cambridge University Press. ISBN 0-521-23893-5.
• Rainwater, John (1959), A Note on Projective Resolutions, Proceedings of the American Mathematical Society, 10 (5): 734—735, doi:10.2307/2033466, JSTOR 2033466