Еліпс

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Еліпс утворений перетином конуса і нахиленої площини
Еліпс із фокусами

Еліпс в геометрії — лінія другого порядку.

Термін походить від грец. ἔλλειψις — нестача, пропуск, випадіння (мається на увазі «неповнота» або «дефектність» еліпса порівняно з «повним» колом або кругом).

Аналітичне визначення[ред.ред. код]

Еліпс в прямокутній системі координат

Еліпсом називають лінію, яка в деякій декартовій прямокутній системі координат задається рівнянням:

Еліпс належить до кривих другого порядку.

Визначальна властивість еліпса[ред.ред. код]

Точки і називають фокусами еліпса, а відстань між ними — фокусною відстанню, її позначають через , отже, . Суму відстаней від будь-якої точки еліпса до фокусів і позначимо . Тоді за означенням маємо: . Звідси можна сказати, що еліпс складається з таких і тільки таких точок , які задовольняють умові:

Геометричне визначення[ред.ред. код]

Еліпсом називається множина всіх точок площини, для кожної з яких сума відстаней до двох даних точок і цієї площини є величина стала, більша за відстань між і .

Елементи еліпса[ред.ред. код]

Вершини еліпса[ред.ред. код]

Точки перетину еліпса з осями прямокутної системи координат, вибраної так щоб початок координат був серединою відрізка , а вісь збігалася з прямою , називають вершинами еліпса.

Осі еліпса[ред.ред. код]

Відрізок , що проходить через обидва фокуси і , називають великою віссю еліпса, а перпендикулярний йому відрізок , що перетинається з великою віссю в центрі еліпса – відповідно його малою віссю. Довжина цих відрізків відповідає умові . Еліпс симетричний відносно своїх осей та центра.

Директриса та ексцентриситет[ред.ред. код]

Число це ексцентриситет еліпса, величина, що характеризує його витягнутість; для еліпса . Прямі, рівняння яких та називаються директрисами еліпса; відношення відстані від будь-якої точки еліпса до найближчого фокусу до відстані до найближчої директриси стале і дорівнює ексцентриситету.

Зауважимо, що величинами, які характеризують еліпс, є велика і мала півосі і , відстань фокуса від центру, ексцентриситет . Залежність між ними виражається формулами: . Тому, щоб скласти рівняння еліпса, досить знати або півосі і , або одну піввісь і ексцентриситет і т.д.

Якщо точки і збігаються, то еліпс стає колом радіуса . При цьому . Отже, коло є окремим випадком еліпса.

Різні види рівнянь еліпса[ред.ред. код]

Канонічне рівняння еліпса[ред.ред. код]

Параметричне рівняння еліпса[ред.ред. код]

де

Нормальне рівняння еліпса[ред.ред. код]

Довжина дуги еліпса[ред.ред. код]

Довжина дуги еліпса обчислюється за формулою:

Використавши параметричний запис рівняння еліпса, отримуємо наступний вираз:

Після заміни вираз довжини дуги приймає остаточний вигляд:

Отриманий інтеграл належить до родини еліптичних інтегралів, які не виражаються у елементарних функціях, і зводиться до еліптичного інтегралу другого роду . Зокрема, периметр еліпса дорівнює:

,

де — повний еліптичний інтеграл Лежандра другого роду.

Наближені формули периметра[ред.ред. код]

YNOT: , де . Максимальна похибка цієї формули становить близько 0,3619 % при ексцентриситеті еліпса близько 0,979811 (відношення осей ~1/5). Похибка завжди додатна.

Дуже наближена формула:

Дотична[ред.ред. код]

Рівняння дотичної до еліпса через точку (x0;y0), яка належить еліпсу

Див. також[ред.ред. код]


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.