Еліпс

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Еліпс утворений перетином конуса і нахиленої площини
Еліпс із фокусами

Еліпс в геометрії — лінія другого порядку.

Термін походить від грец. ἔλλειψις — нестача, пропуск, випадіння (мається на увазі «неповнота» або «дефектність» еліпса порівняно з «повним» колом або кругом).

Аналітичне визначення[ред.ред. код]

Еліпс в прямокутній системі координат

Еліпсом називають лінію, яка в деякій декартовій прямокутній системі координат задається рівнянням:

Еліпс належить до кривих другого порядку.

Визначальна властивість еліпса[ред.ред. код]

Точки і називають фокусами еліпса, а відстань між ними — фокусною відстанню, її позначають через , отже, . Суму відстаней від будь-якої точки еліпса до фокусів і позначимо . Тоді за означенням маємо: . Звідси можна сказати, що еліпс складається з таких і тільки таких точок , які задовольняють умові:

Геометричне визначення[ред.ред. код]

Еліпсом називається множина всіх точок площини, для кожної з яких сума відстаней до двох даних точок і цієї площини є величина стала, більша за відстань між і .

Елементи еліпса[ред.ред. код]

Вершини еліпса[ред.ред. код]

Точки перетину еліпса з осями прямокутної системи координат, вибраної так щоб початок координат був серединою відрізка , а вісь збігалася з прямою , називають вершинами еліпса.

Осі еліпса[ред.ред. код]

Відрізок , що проходить через обидва фокуси і , називають великою віссю еліпса, а перпендикулярний йому відрізок , що перетинається з великою віссю в центрі еліпса – відповідно його малою віссю. Довжина цих відрізків відповідає умові . Еліпс симетричний відносно своїх осей та центра.

Директриса та ексцентриситет[ред.ред. код]

Число це ексцентриситет еліпса, величина, що характеризує його витягнутість; для еліпса . Прямі, рівняння яких та називаються директрисами еліпса; відношення відстані від будь-якої точки еліпса до найближчого фокусу до відстані до найближчої директриси стале і дорівнює ексцентриситету.

Зауважимо, що величинами, які характеризують еліпс, є велика і мала півосі і , відстань фокуса від центру, ексцентриситет . Залежність між ними виражається формулами: . Тому, щоб скласти рівняння еліпса, досить знати або півосі і , або одну піввісь і ексцентриситет і т.д.

Якщо точки і збігаються, то еліпс стає колом радіуса . При цьому . Отже, коло є окремим випадком еліпса.

Різні види рівнянь еліпса[ред.ред. код]

Канонічне рівняння еліпса[ред.ред. код]

Параметричне рівняння еліпса[ред.ред. код]

де

Нормальне рівняння еліпса[ред.ред. код]

Довжина дуги еліпса[ред.ред. код]

Довжина дуги еліпса обчислюється за формулою:

Використавши параметричний запис рівняння еліпса, отримуємо наступний вираз:

Після заміни вираз довжини дуги приймає остаточний вигляд:

Отриманий інтеграл належить до родини еліптичних інтегралів, які не виражаються у елементарних функціях, і зводиться до еліптичного інтегралу другого роду . Зокрема, периметр еліпса дорівнює:

,

де — повний еліптичний інтеграл Лежандра другого роду.

Наближені формули периметра[ред.ред. код]

YNOT: , де . Максимальна похибка цієї формули становить близько 0,3619 % при ексцентриситеті еліпса близько 0,979811 (відношення осей ~1/5). Похибка завжди додатна.

Дуже наближена формула:

Дотична[ред.ред. код]

Рівняння дотичної до еліпса через точку (x0;y0), яка належить еліпсу

Застосування[ред.ред. код]

Планетарні орбіти[ред.ред. код]

Докладніше: Еліптична орбіта

В 17-му столітті, Йоганн Кеплер відкрив, що орбіти по яким рухаються планети довкола Сонця є еліпсами, і Сонце знаходиться приблизно в одному із фокусів еліпса. Це відкриття називається першим законом планетарного руху. Згодом, Ісаак Ньютон пояснив це як наслідок свого закону всесвітнього тяжіння.

У загальному випадку, в рамках гравітаційної задачі двох тіл, якщо два тіла зв'язані одне з одним (так що, їх загальна енергія є негативною), їхніми орбітами будуть подібні еліпси із спільним барицентром, що буде знаходитися в одному їх фокусів кожного еліпса. Інші фокуси двох еліпсів не мають відомого фізичного значення. Цікаво, орбіта одного тіла в системі відліку другого тіла також буде еліпсом, де друге тіло знаходиться в тому ж фокусі.

Кеплерові еліптичні орбіти є результатом радіально спрямованої сили тяжіння, сила якої буде зворотньопропорційна квадрату відстані. Таким чином, в теорії, рух двох заряджених частинок у вільному просторі також буде здійснюватися по еліпсу. (Однак, таке припущення не бере до уваги втрати енергії через електромагнітного випромінення і квантових ефектів, що стають важливими при русі частинок на великій швидкості.)

Для еліптичних орбіт, корисними рівняннями, що пов'язані із ексцентриситетом є:

де

Також, в термінах of і , велика піввісь буде їхнім арифметичним середнім, мала піввісь буде їхнім геометричним середнім, а половина хорди фокусу еліпса дорівнює їх гармонійному середньому. Іншими словами,

.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Золотий логарифм і його застосування. Еліпс і рівняння його довжини / Є. П. Устянич. – Л. : Каменяр, 2011. – 76 с. : іл. – (Математичні новинки). – Бібліогр.: с. 73-74 (27 назв). – ISBN 978-966-607-177-7


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.