Ендоморфізм Фробеніуса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Ендоморфізм Фробеніусаендоморфізм комутативного кільця простий характеристики p, задається формулою . У деяких випадках, наприклад, у разі скінченного поля, ендоморфізм Фробеніуса є автоморфізмом, проте в загальному випадку це не так.

Означення[ред. | ред. код]

Нехай R — комутативне кільце простої характеристики p (зокрема, такою є будь-яка область цілісності ненульової характеристики). Ендоморфізм Фробеніуса кільця R задається формулою .

Ендоморфізм Фробеніуса є гомоморфізмом кілець оскільки (для того, щоб довести останню тотожність, досить розписати ліву частину за формулою бінома Ньютона і помітити, що всі біноміальні коефіцієнти, крім першого і останнього, діляться на p ).

Основні властивості[ред. | ред. код]

  • Якщо — довільний гомоморфізм кілець простої характеристики p, то , тобто: .
Це означає, що ендоморфізм Фробеніуса є натуральним перетворенням тотожного функтора (на категорії комутативних кілець характеристики p) в себе.
  • Якщо кільце R не містить нетривіальних нільпотентів, то ендоморфізм Фробеніуса є ін'ективним (оскільки його ядро є рівним нулю). Обернене твердження теж є вірним: якщо - нетривіальний нільпотентний елемент, такий що для але для деякого , то .
  • Ендоморфізм Фробеніуса не обов'язково є сюр'єктивним, навіть якщо R є полем. Наприклад, нехай - поле раціональних функцій з коефіцієнтами в , тоді функція не є образом ендоморфізму Фробеніуса. Поле k називається досконалим, якщо його характеристика дорівнює нулю, або характеристика є рівною p і ендоморфізм Фробеніуса є сюр'єктивним (а отже є автоморфізмом). Зокрема, всі скінченні поля є досконалими.

Нерухомі точки[ред. | ред. код]

Розглянемо скінченне поле . Згідно малої теореми Ферма, всі елементи цього поля задовольняють рівняння . Рівняння p-го степеня не може мати більше p коренів, отже, в будь-якому розширенні поля нерухомі точки ендоморфізму Фробеніуса — елементи поля . Аналогічне твердження вірне для цілісних кілець характеристики p.

Подібні властивості задовольняють і степені ендоморфізму Фробеніуса. Якщо — скінченне поле, всі його елементи задовольняють рівняння і в будь-якому розширенні цього поля елементи вихідного поля є нерухомими точками k-го степеня ендоморфізму Фробеніуса, тобто нерухомими точками .

Породжуючий елемент групи Галуа[ред. | ред. код]

Група Галуа скінченного розширення скінченного поля є циклічною і породжується степенем ендоморфізму Фробеніуса.

Розглянемо спочатку випадок, коли основне поле є рівним . Нехай — скінченне поле, де . Ендоморфізм Фробеніуса зберігає елементи простого поля . Також у цьому випадку є автоморфізмом оскільки для полів характеристики p: , тож тоді і тільки тоді коли . Тобто ендоморфізм Фробеніуса є елементом групи Галуа розширення . До того ж ця група є циклічною і породжується .

Справді для всіх , тож є тотожним відображенням. З іншого боку для рівність може виконуватися лише щонайбільше для елементів поля , тож не є тотожним відображенням і автоморфізми є різними. Але згідно базових результатів теорії Галуа оскільки то і порядок групи Галуа теж є рівним p. Тому всі елементи цієї групи є степенями ендоморфізму Фробеніуса.

У розширенні для n-ого степеня ендоморфізма Фробеніуса (який теж є автоморфізмом) полем нерухомих точок є . Подібно як і вище можна довести, що група Галуа цього розширення породжується і має порядок .

Для розширень відображення також називають автоморфізмом Фробеніуса цього розширення.

Застосування в теорії чисел[ред. | ред. код]

Локальні поля[ред. | ред. код]

Нехай kлокальне поле із скінченним полем лишків , а K — нерозгалужене скінченне розширення поля k. Тоді автоморфізм Фробеніуса розширень скінченних полів лишків однозначно продовжується до автоморфізму розширення , що теж називається автоморфізмом Фробеніуса і позначається . Нехай , -кільце цілих елементів поля K і — максимальний ідеал в . Тоді автоморфізм Фробеніуса однозначно визначається умовою:

для будь-якого .

Якщо — довільне скінченне розширення Галуа локальних полів, то автоморфізмом Фробеніуса розширення іноді називають будь-який автоморфізм, що індукує на максимальному нерозгалуженому підрозширенні поля автоморфізм Фробеніуса у зазначеному вище означенні.

Глобальні поля[ред. | ред. код]

Нехай — скінченне розширення Галуа глобальних полів, — простий ідеал поля k і — деякий простий ідеал поля K, що лежить над . Нехай також є розгалуженим в розширенні .

Тоді можна перейти до поповнень і ввести . Ототожнюючи групу Галуа із підгрупою розкладання ідеалу у групі , можна розглядати як елемент групи . Цей елемент називається автоморфізмом Фробеніуса простого ідеалу і породжує його групу розкладу. Відповідно до теореми Чеботарьова про щільність для будь-якого автоморфізму існує нескінченна кількість простих нерозгалужених в ідеалів для яких .

Для абелевого розширення автоморфізм Фробеніуса залежить тільки від . У цьому випадку він також називається відображенням Артіна простого ідеалу .

Див. також[ред. | ред. код]

Посилання[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

  • Garling, D.J.H. (1986). A Course in Galois Theory. Cambridge University Press. ISBN 0-521-31249-3. 
  • Janusz, Gerald J. (1996). Algebraic number fields. Graduate Studies in Mathematics 7 (вид. second). Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0429-4. MR 1362545.