Ергодичний розподіл

Визначення

Нехай$\{X_{n}\}_{n\geq 0}$ — однорідний ланцюг Маркова з дискретним часом і зліченним числом станів. Позначимо

$p_{ij}^{(n)}=\mathbb {P} (X_{n}=j\mid X_{0}=i)$

перехідні ймовірності за $n$ кроків. Якщо існує дискретний розподіл $\pi =(\pi _{1},\pi _{2},\ldots )^{\top }$, такий, що $\pi _{i}>0,\;i\in \mathbb {N}$ і

$\lim \limits _{n\to \infty }p_{ij}^{(n)}=\pi _{j},\quad \forall i=1,2,\ldots$,

то він називається ергодичним розподілом, а сам ланцюг називається ергодичним.

Основна теорема про ергодичні розподіли

Нехай $\{X_{n}\}_{n\geq 0}$ — ланцюг Маркова з дискретним простором станів і матрицею перехідних ймовірностей $P=(p_{ij}),\;i,j=1,2,\ldots$. тоді цей ланцюг є ергодичним тоді і тільки тоді, коли він

1. нерозкладний;
2. додатнозворотний;
3. аперіодичний.

Ергодичний розподіл $\mathbf {\pi }$ тоді є єдиним роз'язком системи:

$\sum \limits _{i=0}^{\infty }\pi _{i}=1,\;\pi _{j}\geq 0,\;\pi _{j}=\sum \limits _{i=0}^{\infty }\pi _{i}\,p_{ij},\quad \,j\in \mathbb {N}$.

Див. також

• Ланцюг Маркова
• Стаціонарний розподіл
• Ергодичність

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. — 2-е. — Москва : Наука, 1977. — 567 с.(рос.)